22.2.3 公式法 篇1

　　教學(xué)內(nèi)容

　　1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

　　2.公式法的概念；

　　3.利用公式法解一元二次方程.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

　　復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　　（學(xué)生活動(dòng)）用配方法解下列方程

　　（1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52

　�。ɡ蠋燑c(diǎn)評(píng)）  （1）移項(xiàng)，得：6x2-7x=-1

　　二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2- x=-

　　配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2

　�。▁- ）2=

　　x- =±   x1= + = =1 

　　x2=- + = =

　　（2）略

　　總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）.

　�。�1）移項(xiàng)；

　�。�2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

　�。�3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

　�。�4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

　�。�5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解.

　　二、探索新知

　　如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

　　問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1= ，x2=

公式法的說課稿 篇1

　　一、教材分析

　�。ㄒ唬┙滩膬�(nèi)容

　　本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生了解了因式分解的基本概念，了解了與整式乘法的相互關(guān)系，并學(xué)會(huì)用提公因式法之后的新的一種因式分解方法。

　　（二）地位作用

　　因式分解是進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的重要手段之一，因式分解是在學(xué)習(xí)整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它不僅在多項(xiàng)式的除法、簡便運(yùn)算中等有直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解一元二次方程及函數(shù)的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)，因此學(xué)好因式分解對(duì)于代數(shù)知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義。

　　二、目標(biāo)分析知識(shí)技能：

　　1、掌握用平方差公式分解因式的方法；

　　2、掌握提公因式法，平方差公式法分解因式綜合應(yīng)用；

　　3、能利用平方差公式法解決實(shí)際問題。

　　數(shù)學(xué)思考：

　　經(jīng)歷探究分解因式方法的過程，體會(huì)整式乘法與分解因式之間的聯(lián)系。

　　解決問題：

　　通過對(duì)公式的探究，深刻理解公式的應(yīng)用，并會(huì)熟練應(yīng)用公式解決問題。

　　情感態(tài)度：

　　通過探究平方差公式特點(diǎn)，并根據(jù)公式自己解決問題的過程，讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)合作交流意識(shí)。

　　三、重、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：應(yīng)用平方差公式分解因式。

　　難點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)及高次指數(shù)的轉(zhuǎn)化、兩種因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的靈活應(yīng)用。

　　四、教法學(xué)法分析

　　教法設(shè)計(jì)：以學(xué)生的發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行授課；從學(xué)生活動(dòng)出發(fā)，以舊引新。講練結(jié)合，體現(xiàn)教與學(xué)的統(tǒng)一。教學(xué)過程中采用試一試、想一想、做一做等欄目的設(shè)置激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

運(yùn)用公式法 篇1

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　三、課堂練習(xí)(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.

　　2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項(xiàng)式改變?yōu)橥耆�平方�?

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.

　　四、小結(jié)

　　運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是：

　　1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作業(yè) 

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.

　　2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；         (6)25a4－40a2b2+16b4.

　　3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.

　　2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.

　　3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.

　　4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

　　2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　三、課堂練習(xí)(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.

　　2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項(xiàng)式改變?yōu)橥耆�平方�?

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.

　　四、小結(jié)

　　運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是：

　　1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作業(yè) 

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.

　　2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；         (6)25a4－40a2b2+16b4.

　　3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.

　　2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.

　　3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.

　　4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

　　2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　第 1 2 頁  

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　三、課堂練習(xí)(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.

　　2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項(xiàng)式改變?yōu)橥耆�平方�?

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.

　　四、小結(jié)

　　運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是：

　　1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作業(yè) 

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.

　　2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；         (6)25a4－40a2b2+16b4.

　　3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.

　　2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.

　　3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.

　　4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

　　2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　三、課堂練習(xí)(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.

　　2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項(xiàng)式改變?yōu)橥耆�平方�?

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.

　　四、小結(jié)

　　運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是：

　　1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作業(yè) 

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.

　　2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；         (6)25a4－40a2b2+16b4.

　　3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.

　　2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.

　　3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.

　　4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

　　2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　運(yùn)用公式法――完全平方公式(1)

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法；

　　2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力.

　　3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

　　4.通過運(yùn)用公式法分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式.

　　難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式.

　　教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

　　一、復(fù)習(xí)

　　1.問：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法.

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2             (2)16m4－n4.

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).

　　問：我們學(xué)過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式.

　　請寫出完全平方公式.

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2,   (a－b)2=a2－2ab+b2.

　　這節(jié)課我們就來討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解.

　　二、新課

　　和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；    a2－2ab+b2=(a－b)2.

　　這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

　　問：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式?

　　答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.

　　問：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.

　　答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) .

　　(2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌�部分必須�?xy.

　　(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) .

　　(4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌�部�?

　　請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

　　例1  把25x4+10x2+1分解因式.

　　分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式.

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.

　　例2 把1－ m+ 分解因式.

　　問：請同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“ ”是 的平方，第二項(xiàng)“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　=  (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2.

　　三、課堂練習(xí)(投影)

　　1.填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.

　　2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項(xiàng)式改變?yōu)橥耆�平方�?

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.

　　3.把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.

　　答案：

　　1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.

　　2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.

　　3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.

　　四、小結(jié)

　　運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是：

　　1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.

　　2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.

　　五、作業(yè) 

　　把下列各式分解因式：

　　1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.

　　2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；         (6)25a4－40a2b2+16b4.

　　3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.

　　答案：

　　1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.

　　2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.

　　3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.

　　4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.

　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).

　　2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.

　　和完全平方公式500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">來分解因式的方法。它是分解因式最基本的方法之一，現(xiàn)將幾種常見思路歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。

　　一. 直接用公式

　　例1 （1）（2002江蘇鹽城中考試題）分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">；

　　（2）（2003南通中考試題）分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。

　　分析：（1）此題是兩項(xiàng)式，符合平方差公式的條件。從而500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">；

　�。�2）此題是三項(xiàng)式，符合完全平方公式的條件。從而500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。

　　二. 提公因式后用公式

　　例2 （2003長沙中考試題）分解因式:500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">.

　　分析：先提取公因式a，再運(yùn)用公式。所以500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。

　　三. 化簡后用公式

　　例3 分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。

　　分析：先化簡后再運(yùn)用公式。所以

　　500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。

22.2.3 公式法 篇1

　　教學(xué)內(nèi)容

　　1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

　　2.公式法的概念；

　　3.利用公式法解一元二次方程.

　　教學(xué)目標(biāo)

　　理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

　　復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

　　重難點(diǎn)關(guān)鍵

　　1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

　　2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

　　教學(xué)過程

　　一、復(fù)習(xí)引入

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）用配方法解下列方程

　　（1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52

　�。ɡ蠋燑c(diǎn)評(píng)）  （1）移項(xiàng)，得：6x2-7x=-1

　　二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2- x=-

　　配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2

　�。▁- ）2=

　　x- =±   x1= + = =1 

　　x2=- + = =

　�。�2）略

　　總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）.

　　（1）移項(xiàng)；

　�。�2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

　　（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

　�。�4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

　�。�5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解.

　　二、探索新知

　　如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

　　問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1= ，x2=

教學(xué)內(nèi)容
    1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；
    2.公式法的概念；
    3.利用公式法解一元二次方程.

和完全平方公式500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">來分解因式的方法。它是分解因式最基本的方法之一，現(xiàn)將幾種常見思路歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。