《連續奇數數列之和與正方形的關系》教案（通用2篇）

《連續奇數數列之和與正方形的關系》教案 篇1

　　教學內容：人教版小學數學教材六年級上冊第107頁例1及相關練習。

　　教學目標：

　　1.體會數與形的聯系，進一步積累數形結合數學活動經驗，培養學生數形結合的數學思想意識。

　　2.體驗數形結合的數學思想方法價值，激發學生用數形結合思想方法解決問題的興趣，感受數學的魅力。

　　3.在解決數學問題的過程中，體會和掌握數形結合、歸納推理等基本的數學思想。

　　教學重點、難點：積累數形結合數學活動經驗，體驗數學思想方法的價值，激發興趣。

　　教學準備：課件，不同顏色的小正方形。

　　學具準備：不同顏色的小正方形，吸鐵板，作業紙。

　　教學過程：

　　一、談話導入，出示課題

　　教師：最近老師發現，我有一項非常神奇的本領。什么本領呢？我發現只要從1開始的連續奇數相加，比如，1+3,1+3+5……像這樣的算式，我都算得特別快。你們信嗎？

　　教師：不信也沒關系，我們現場來比一比。

　　師生比賽，看誰算得快。

　　教師：這個方法快嗎？你們想不想也像老師一樣算得快呢？

　　教師：老師給你們一點點提示，我是借助圖形發現這個方法的，今天這節課我們就來研究──數與形（板書）。

　　【設計意圖】從談話導入，通過設置懸念，激發學生學習興趣，從而順理成章地引出課題。

　　二、動手實踐，以形解數

　　1.教師：我先根據算式中的加數拿出若干個圖形。比如，1+3，我就先拿一個小正方形，再拿三個小正方形（貼在黑板上），我發現這些數量的小正方形剛好可以拼成一個大正方形，那我就把它們拼成一個大的正方形。

　　教師：接著，我觀察圖形和算式之間的關系，就發現了可以快速算得結果的方法，你們想不想自己試試看？

　　教師：先來兩個加數的，再來三個加數的。請同學們在小組內先完成第一步，再完成第二步，看看哪個小組最先發現老師的方法。

　　2.小組動手操作，教師巡視。

　　3.學生匯報，全班交流分析。

　　先討論1+3，再討論1+3+5。

　　教師：根據同學們的匯報，大家認為1+3=22，1+3+5=32。除了這兩組同學的匯報，你們還有其他發現嗎？

　　學生：算式中加數的個數是幾，和就等于幾的平方。

　　教師：你們認同他的方法嗎？能不能舉個具體的例子來說一說？

　　學生1：1+3+5+7+9=52。

　　學生2：1+3+5+7+9+11=62。

　　教師：那我們從頭來看一看。請看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。

　　教師：一個小正方形可以看成12，想要拼成一個更大的正方形，再增加1個是不夠的，增加的個數要比前一個加數再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3個是不夠的，還要比3個再多2個（也就是5個），此時是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此類推，加到了9，就能排成每行、每列的個數是5的大正方形。

　　教師：那看來只要是1開始的，連續的奇數相加，就能排成每行、每列個數是幾的大正方形，和也就是幾的平方。

　　4.練習。

　　（1）1+3+5+7+9=（      ）2；

　　1+3+5+7+9+11+13=（      ）2；

　　____________________________=92。

　　教師請學生獨立完成，然后全班核對答案。

　　（2）利用規律，算一算。

　　1+3+5+7+5+3+1=（      ）；

　　1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（      ）。

　　全班交流，請學生說明計算結果和原因。

　　5.小結。

　　教師：我們同學都很細心，現在不但能很快算出從1開始的連續奇數的和，稍加一點變化，你們也照樣算得很快。現在知道老師是用什么方法來快速計算這些題的吧？

　　教師：這么巧妙的方法，我們是借助什么發現的？（圖形）。看來，有的計算問題借助圖形解決會更容易。就像這個題一樣，我們借助圖形發現了更巧妙、更簡便的方法。

　　【設計意圖】充分讓學生動手實踐，感受如何將數和形結合，體會數和形之間的緊密聯系，同時讓學生感受到“形”可以展示“數”的特點，通過“形”使解決“數”的問題變得更加容易。

　　三、練習鞏固

　　1.下面每個圖中各有多少個紅色小正方形和多少個藍色小正方形？

　　學生回答，課件出示答案。

　　教師：請你認真思考、觀察，上邊的圖形和對應的數之間有什么規律？四人小組交流。

　　教師：剛才有一個同學說，藍色的小正方形順次增加1個，紅色的小正方形順次增加2個。為什么藍色的小正方形每次增加1個，而紅色的小正方形每次增加2個呢？

　　教師：我們一起來看一看。第一個圖形，若要增加1個藍色小正方形，其上方、下方就要各增加1個紅色小正方形；依此類推，第三個圖形在第二個圖形的基礎上增加了1個藍色小正方形，則紅色小正方形就要增加幾個？

　　教師：如果不讓你看圖，照這樣畫下去，第6個和第10個圖形各有幾個紅色小正方形和藍色小正方形呢？你能寫出來嗎？在草稿本上寫一寫。

　　教師請學生介紹，說說是怎么算出來的。

　　教師：觀察發現，圖形中左右兩側的紅色小正方形個數固定不變（為6個），在中間部分，藍色小正方形的個數乘以2就是紅色小正方形的個數。即使在藍色小正方形個數較多的情況下，仍然可以算得很快，看來圖形問題確實也蘊涵著數的規律。找到了其中的規律，解決問題就清晰、容易多了。

　　2.課件出示教材第109頁練習二十二第2題。

　　（1）教師：上方有圖，下方有對應的數字，請你觀察和思考，圖和數之間有什么規律？小組交流一下。

　　全班交流。

　　學生：第2個圖形中小圓的個數為1+2，第3個圖形中小圓的個數為1+2+3，第4個圖形中小圓的個數為1+2+3+4。

　　學生：是第幾個圖形，其中就有幾行小圓。

　　教師：照這個規律往下畫，你能畫出來嗎？圖形下方的數字表示的是什么？第5個、第6個、第7個圖形下方的數，你能不能很快寫出來？

　　教師請學生獨立完成在練習紙上。

　　教師請學生匯報，說說是怎么得到結果的。

　　教師：圖形中的最后一行是第幾行？含有幾個小圓？

　　教師：現在如果老師不讓你畫圖，你能不能想象一下第10個圖形，它是什么樣子的？一共有多少個小圓呢？現在我們就不畫圖，算一算，第10個圖形下方的那個數是多少？能算出來嗎？動筆試一試。

　　展示學生作品，請學生介紹方法。

　　（2）教師介紹“三角形數”“正方形數”。

　　教師：同學們發現沒有，55個小圓能排成什么圖形？（三角形）而且這個三角形的每一行的小圓的個數分別是從1到10。

　　教師：回過頭來看看。3、6、10、15、21呢？它們是否也具有同樣的特點？

　　教師：在數學上，我們把1、3、6、10、15、21、28這樣的數稱為“三角形數”。請同學們想一想，28后面的下一個三角形數是多少？（36）

　　教師：大家再看，一個圖形，如果是4個小正方形可以拼成大正方形，如果是9個小正方形可以拼成大正方形，16個小正方形也可以拼成大正方形。像這樣的數，我們稱之為“正方形數”。

　　【設計意圖】通過兩個練習，讓學生進一步體會數形結合的特點，感受用形來解決數的有關問題的直觀性與簡捷性。在練習中充分讓學生動腦、動口、動手，在交流中發現特點，解決問題。

　　四、回顧反思

　　教師：今天這節課，我們一起學習了“數與形”，說說你有什么收獲？

　　課后反思：

　　形的問題中包含著數的規律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時，讓學生通過解決問題體會到數與形的完美結合，通過數與形的對應關系，相互印證結果，發現“和”都是“平方數”，再通過圖形的規律理解“平方數”（即正方形數）的含義，并讓學生大膽說出自己發現的其他規律，從不同角度尋找規律，例如從第一個圖到第三個圖，每次增加多少個小正方形，用加法怎樣列式，加數都是連續奇數，這些奇數在圖中什么地方，從而對規律形式更直觀的認識。

　　《利用圖形求等比數列之和》教學設計

　　教學內容：人教版小學數學教材六年級上冊第107～108頁例2及相關練習。

　　教學目標：

　　1.在學習過程中引導學生探索研究數與形之間的聯系，尋找規律，發現規律，學會利用圖形來解決一些有關數的問題。

　　2.讓學生經歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數形結合、歸納推理、極限等基本數學思想。

　　教學重難點：探索數與形之間的聯系，尋找規律，并利用圖形來解決有關數的問題。

　　教學準備：教學課件。

　　教學過程：

　　一、直接導入，揭示課題

　　同學們，上節課我們探究了圖形中隱藏的數的規律，今天我們繼續研究有關數與圖形之間的聯系。（板書課題：數與形）

　　【設計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節課學習的內容和方向。

　　二、探索發現，學習新知

　　（一）教師與學生比賽算題

　　1.教師：你知道等于多少嗎？（學生：）

　　教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經算好了，是，不信你算算。

　　2.只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規律寫下去，不管有多少個分數相加，我都能立馬算出結果。有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了方便，我請我們班計算最快的同學跟我一起算，看看結果是否相同。誰來出題？

　　學生出題。預設：

　　，

　　，

　　，

　　，

　　……

　　在學生出題后，老師都能立刻算出結果，并且是正確的，學生感到很驚奇。

　　3.知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？

　　【設計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，且每次老師勝利，使學生產生好奇心，再通過教師幽默的語言，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣和求知欲。另一方面，為接下來學習例題做好鋪墊。

　　（二）借助正方形探究計算方法

　　1.這件法寶就是（師邊說邊課件出示一個正方形），讓我們來把它變一變，聰明的同學們一定能看明白是怎么回事了。

　　2.進行演示講解。

　　（1）演示：用一個正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。

　　想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？那么涂色部分還可以怎么算呢？，也就是說。

　　（2）繼續演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？

　　根據學生回答，板書。

　　（3）演示：那么計算就可以得到？。

　　3.看到這兒，你發現什么規律了嗎？

　　4.小結：按照這樣的規律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。

　　5.這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？

　　6.嘗試練習：

　　【設計意圖】將復雜的數量運算轉化為簡單的圖形面積計算，轉繁為簡，轉難為易，引導學生探索數與圖形的聯系，讓學生體會到數形結合、歸納推理的數學思想方法。

　　（三）知識提升，探索發現

　　1.感受極限。

　　（1）剛才我們已經從一直加到了，如果我繼續加，加到，得數等于？再接著加，一直加到，得數等于？隨著不斷繼續加，你發現得數越來越？（大）無數個這樣的數相加，和會是多少呢？

　　（2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數會不會就等于1了。）

　　（3）想象一下，如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來越？（小）而涂色部分的面積越來越接近？（1）也就是求和的得數越來越接近？（1）最終得數是1嗎？你有什么方法來證明得數就是1？

　　（學情預設：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）

　　2.利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。

　　（1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的意思嗎？請你想一想，然后告訴大家你的想法。

　　（2）學生看書思考。

　　（3）全班交流，課件演示，得出結論：這些分數不斷加下去，總和就是1。

　　【設計意圖】利用數與形的結合，讓學生直觀體會極限數學思想，并讓學生經歷猜想得數等于“1”，到數形結合證明得數等于“1”的過程，激發學生學習興趣，培養學生探索新知的精神。

　　3.課堂小結。

　　對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？

　　教師小結：是的，“數”與“形”有著緊密的聯系，在一定條件下可以相互轉化。當用數形結合的方法解決問題時，你會發現許多難題的解決變得很簡單。

　　4.舉一反三。

　　其實在以前的學習中，我們也常用到數形結合的數學方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學生有困難，教師舉例：一年級加法，分數的認識，復雜的路程問題線段圖等。）

　　【設計意圖】讓學生體會“數形結合”是數學學習中常用的方法。

　　三、練習鞏固

　　1.基礎練習。

　　（1）學生獨立計算。

　　（2）全班交流反饋。

　　【設計意圖】通過練習，回顧新知，鞏固新知，使學生對新知識掌握得更扎實。

　　2.小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？

　　解決問題：

　　（1）全班讀題，學生獨立思考。

　　（2）指名回答。

　　（3）根據學生回答情況，連線（課件演示）。

　　（4）結合連線圖得出：小剛一共下了2盤，分別和小林、小強下的。

　　【設計意圖】讓學生進一步體會數形結合的直觀性和變難為易的特點。

　　四、課堂總結

　　快下課了，請你來說說這節課有什么收獲？

　　課后反思:

　　圖形的直觀形象的特點，決定了化數為形往往能達到以簡馭繁的目的，例2中，用舉例的方法求出等比數列的有限和，都不能證明無限多項相加結果為1，但是接近1，但這個無限接近于1的數是多少呢？電子白板呈現出圓形模型和線段模型來表示“1”，使學生結合分數意義，在圓上和線段上分別有規律地表示這些加數，當這個過程無止境地持續下去時，所有的扇形和線段就會把整個圓和整條線段占滿，即和為“1”，用畫圖的方法來表示計算過程和結果，讓學生感受到什么叫無限接近，什么叫直觀形象，同時，一個極其抽象的極限問題，變得十分直觀和便捷。

《連續奇數數列之和與正方形的關系》教案 篇2

　　教學內容：

　　人教版小學數學教材六年級下冊第107頁例1及相關練習。

　　教學目標：

　　1.體會數與形的聯系，進一步積累數形結合數學活動經驗，培養學生數形結合的數學思想意識。

　　2.體驗數形結合的數學思想方法價值，激發學生用數形結合思想方法解決問題的興趣，感受數學的魅力。

　　3.在解決數學問題的過程中，體會和掌握數形結合、歸納推理等基本的數學思想。

　　重點難點：

　　積累數形結合數學活動經驗，體驗數學思想方法的價值，激發興趣。

　　教學準備：

　　課件，不同顏色的小正方形。

　　學具準備：

　　不同顏色的小正方形，吸鐵板，作業紙。

　　教學過程：

　　一、談話導入，出示課題

　　教師：最近老師發現，我有一項非常神奇的本領。什么本領呢？我發現只要從1開始的連續奇數相加，比如，1+3,1+3+5……像這樣的算式，我都算得特別快。你們信嗎？

　　教師：不信也沒關系，我們現場來比一比。

　　師生比賽，看誰算得快。

　　教師：這個方法快嗎？你們想不想也像老師一樣算得快呢？

　　教師：老師給你們一點點提示，我是借助圖形發現這個方法的，今天這節課我們就來研究──數與形（板書）。

　　【設計意圖】從談話導入，通過設置懸念，激發學生學習興趣，從而順理成章地引出課題。

　　二、動手實踐，以形解數

　　1.教師：我先根據算式中的加數拿出若干個圖形。比如，1+3，我就先拿一個小正方形，再拿三個小正方形（貼在黑板上），我發現這些數量的小正方形剛好可以拼成一個大正方形，那我就把它們拼成一個大的正方形。

　　教師：接著，我觀察圖形和算式之間的關系，就發現了可以快速算得結果的方法，你們想不想自己試試看？

　　教師：先來兩個加數的，再來三個加數的。請同學們在小組內先完成第一步，再完成第二步，看看哪個小組最先發現老師的方法。

　　2.小組動手操作，教師巡視。

　　3.學生匯報，全班交流分析。

　　先討論1+3，再討論1+3+5。

　　教師：根據同學們的匯報，大家認為1+3=22，1+3+5=32。除了這兩組同學的匯報，你們還有其他發現嗎？

　　學生：算式中加數的個數是幾，和就等于幾的平方。

　　教師：你們認同他的方法嗎？能不能舉個具體的例子來說一說？

　　學生1：1+3+5+7+9=52。

　　學生2：1+3+5+7+9+11=62。

　　教師：那我們從頭來看一看。請看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。

　　教師：一個小正方形可以看成12，想要拼成一個更大的正方形，再增加1個是不夠的，增加的個數要比前一個加數再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3個是不夠的，還要比3個再多2個（也就是5個），此時是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此類推，加到了9，就能排成每行、每列的個數是5的大正方形。

　　教師：那看來只要是1開始的，連續的奇數相加，就能排成每行、每列個數是幾的大正方形，和也就是幾的平方。

　　4.練習。

　　（1）1+3+5+7+9=（ ）2；

　　1+3+5+7+9+11+13=（ ）2；

　　____________________________=92。

　　教師請學生獨立完成，然后全班核對答案。

　　（2）利用規律，算一算。

　　1+3+5+7+5+3+1=（ ）；

　　1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。

　　全班交流，請學生說明計算結果和原因。

　　5.小結。

　　教師：我們同學都很細心，現在不但能很快算出從1開始的連續奇數的和，稍加一點變化，你們也照樣算得很快。現在知道老師是用什么方法來快速計算這些題的吧？

　　教師：這么巧妙的方法，我們是借助什么發現的？（圖形）。看來，有的計算問題借助圖形解決會更容易。就像這個題一樣，我們借助圖形發現了更巧妙、更簡便的方法。

　　【設計意圖】充分讓學生動手實踐，感受如何將數和形結合，體會數和形之間的緊密聯系，同時讓學生感受到“形”可以展示“數”的特點，通過“形”使解決“數”的問題變得更加容易。

　　三、練習鞏固

　　1.下面每個圖中各有多少個紅色小正方形和多少個藍色小正方形？

　　學生回答，課件出示答案。

　　教師：請你認真思考、觀察，上邊的圖形和對應的數之間有什么規律？四人小組交流。

　　教師：剛才有一個同學說，藍色的小正方形順次增加1個，紅色的小正方形順次增加2個。為什么藍色的小正方形每次增加1個，而紅色的小正方形每次增加2個呢？

　　教師：我們一起來看一看。第一個圖形，若要增加1個藍色小正方形，其上方、下方就要各增加1個紅色小正方形；依此類推，第三個圖形在第二個圖形的基礎上增加了1個藍色小正方形，則紅色小正方形就要增加幾個？

　　教師：如果不讓你看圖，照這樣畫下去，第6個和第10個圖形各有幾個紅色小正方形和藍色小正方形呢？你能寫出來嗎？在草稿本上寫一寫。

　　教師請學生介紹，說說是怎么算出來的。

　　教師：觀察發現，圖形中左右兩側的紅色小正方形個數固定不變（為6個），在中間部分，藍色小正方形的個數乘以2就是紅色小正方形的個數。即使在藍色小正方形個數較多的情況下，仍然可以算得很快，看來圖形問題確實也蘊涵著數的規律。找到了其中的規律，解決問題就清晰、容易多了。

　　2.課件出示教材第109頁練習二十二第2題。

　　（1）教師：上方有圖，下方有對應的數字，請你觀察和思考，圖和數之間有什么規律？小組交流一下。

　　全班交流。

　　學生：第2個圖形中小圓的個數為1+2，第3個圖形中小圓的個數為1+2+3，第4個圖形中小圓的個數為1+2+3+4。

　　學生：是第幾個圖形，其中就有幾行小圓。

　　教師：照這個規律往下畫，你能畫出來嗎？圖形下方的數字表示的是什么？第5個、第6個、第7個圖形下方的數，你能不能很快寫出來？

　　教師請學生獨立完成在練習紙上。

　　教師請學生匯報，說說是怎么得到結果的。

　　教師：圖形中的最后一行是第幾行？含有幾個小圓？

　　教師：現在如果老師不讓你畫圖，你能不能想象一下第10個圖形，它是什么樣子的？一共有多少個小圓呢？現在我們就不畫圖，算一算，第10個圖形下方的那個數是多少？能算出來嗎？動筆試一試。

　　展示學生作品，請學生介紹方法。

　　（2）教師介紹“三角形數”“正方形數”。

　　教師：同學們發現沒有，55個小圓能排成什么圖形？（三角形）而且這個三角形的每一行的小圓的個數分別是從1到10。

　　教師：回過頭來看看。3、6、10、15、21呢？它們是否也具有同樣的特點？

　　教師：在數學上，我們把1、3、6、10、15、21、28這樣的數稱為“三角形數”。請同學們想一想，28后面的下一個三角形數是多少？（36）

　　教師：大家再看，一個圖形，如果是4個小正方形可以拼成大正方形，如果是9個小正方形可以拼成大正方形，16個小正方形也可以拼成大正方形。像這樣的數，我們稱之為“正方形數”。

　　【設計意圖】通過兩個練習，讓學生進一步體會數形結合的特點，感受用形來解決數的有關問題的直觀性與簡捷性。在練習中充分讓學生動腦、動口、動手，在交流中發現特點，解決問題。

　　四、回顧反思

　　教師：今天這節課，我們一起學習了“數與形”，說說你有什么收獲？

　　課后反思：

　　形的問題中包含著數的規律，數的問題也可以用形來幫助解決，教學時，讓學生通過解決問題體會到數與形的完美結合，通過數與形的對應關系，相互印證結果，發現 “和”都是“平方數”，再通過圖形的規律理解“平方數”（即正方形數）的含義，并讓學生大膽說出自己發現的其他規律，從不同角度尋找規律，例如從第一個圖到第三個圖，每次增加多少個小正方形，用加法怎樣列式，加數都是連續奇數，這些奇數在圖中什么地方，從而對規律形式更直觀的認識。