年級（小五） 供稿（奧賽組） 列方程解應用題
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列方程解應用題最關鍵是前兩步：設未知數和列方程。有的同學說的部分不是篇幅很長么，為什么不是關鍵部分呢？其實，只要仔細觀察一下，就會發現，雖然篇幅很長，但只要注意到符號變化、分配律等基本運算技巧，解的過程是較容易掌握的。相反，前兩步篇幅雖然短，但列方程解應用題的精華和難點卻大部分集中在這里，需要用以體會。
        一般地，設什么量為未知數，最簡單明了的想法是設所求為x（復雜的題目有時要采取迂回戰術，間接地設未知數），當所求的數較多時，把這些所求的數量用一個或盡量少的未知數表達出來，也是很重要的。
        設完未知數，就要找等量關系，來幫助列出方程。這時需要認真讀題，因為許多等量關系是隱藏在字里行間的。中文有很多字、詞、句表達相等的意思，如“相等”、“是”、“比……多……”、“比……少……”、“……是……的幾倍”、“……的總和是……”、“……與……的差是……”等等，根據這些字句的含義，再加上其中的量用未知數表達出來，就能列出方程。
 重點·難點
        列方程解應用題是用字母來代替未知數，根據等量關系列出含有未知數的等式，也就是列出方程，然后解出未知數的值，列方程解應用題的優點在于可以使未知數直接參加運算。解這類應用題的關鍵在于能夠正確地設立未知數，找出等量關系從而建立方程。而找出等量關系又在于熟練運用數量之間的各種已知條件。掌握了這兩點就能正確地列出方程。
 學法指導
（1）列方程解應用題的一般步驟是：
1）弄清題意，找出已知條件和所求問題；
2）依題意確定等量關系，設未知數x；
3）根據等量關系列出方程；
4）；
5）檢驗，寫出答案。
（2）初學列方程解應用題，要養成多角度審視問題的習慣，增強一題多解的自覺性，逐步提高分析問題、解決問題的能力。
（3）對于變量較多并且變量關系又容易確定的問題，用方程組求解，過程更清晰。
經典例題
例1   某縣農機廠金工車間有77個工人。已知每個工人平均每天加工甲種零件5個或乙種零件4個或丙種零件3個。但加工3個甲種零件、1個乙種零件和9個丙種零件才恰好配成一套。問：應安排生產甲、乙、丙種零件各多少人時，才能使生產的三種零件恰好配套。
 思路剖析
    如果直接設生產甲、乙、丙三種零件的人數分別為x人、y人、z人，根據共有77人的條件可以列出方程x+y+z=77，但解起來比較麻煩        如果仔細分析題意，會出現除了上面提到的加工甲、乙、丙三種零件的人數為未知數外，還有甲、乙、丙三種零件各自的總件數也未知。而題目中又有關于甲、乙、丙三種零件之間裝配時的內在聯系，這個內在聯系可以用比例關系表示，而乙種零件件數又在中間起媒介作用。所以如用間接未知數，設已種零件總數為x個，為了配套，甲種、丙種零件件數總數分別為3x個和9x個，再根據生產某種零件人數=生產這種零件的個數÷工人勞動效率，可以分別求出生產甲、乙、丙種零件需安排的人數，從而找出等量關系，即按均衡生產推算的總人數，列出方程 解  答
 設加工乙種零件x個，則加工甲種零件3x個，加工丙種零件9x個。
答：應安排加工甲、乙、丙三種零件工人人數分別為12人、5人和60人。
例2   牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃幾天？
 思路剖析
 這是以前接觸過的“牛吃草問題”，它的算術解法步驟較多，這里用列方程的方法來解決。
設供25頭牛可吃x天。
本題的等量關系比較隱蔽，讀一下問題：“每天牧草都勻速生長”，草生長的速度是固定的，這就可以發掘出等量關系，如從“供10頭牛吃20天”表達出生長速度，再從“供15頭牛吃10天”表達出生長速度，這兩個速度應該一樣，就是一種相等關系；另外，最開始草場的草應該是固定的，也可以發掘出等量關系。
 解  答
 設供25頭牛可吃x天。
由：草的總量=每頭牛每天吃的草×頭數×天數
            =原有的草+新生長的草
原有的草=每頭牛每天吃的草×頭數×天數-新生長的草

新生長的草=草的生長速度×天數

考慮已知條件，有

原有的草=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

原有的草=每頭牛每天吃的草×15×10-草的生長速度×10

所以：原有的草=每頭牛每天吃的草×200-草的生長速度×20

原有的草=每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

即：每頭牛每天吃的草×200-草的生長速度×20

=每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

每頭牛每天吃的草×200草的生長速度×20+每頭牛每天吃的草×150-草的生長速度×10

每頭牛每天吃的草×200-每頭牛每天吃的草×150

=草的生長速度×20-草的生長速度×10

每頭牛每天吃的草×（200-150）=草的生長速度×（20-10）

所以：每頭牛每天吃的草×50=草的生長速度×10

每頭牛每天吃的草×5=草的生長速度

因此，設每頭牛每天吃的草為1，則草的生長速度為5。

由：原有的草=每頭牛每天吃的草×25x-草的生長速度

原有的草=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

有：每頭牛每天吃的草×25x-草的生長速度

=每頭牛每天吃的草×10×20-草的生長速度×20

所以：1×25x-5x=1×10×20-5×20

解這個方程

25x-5x=10×20-5×20

20x=100

x=5（天）

答：可供25頭牛吃5天。
例3    某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？
 解  答
 設計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

解法一：用直接設元法。

80x-40=(30x+40)×2

80x-40=60x+80

20x=120

x=6（座）

解法二：用間接設元法。

設有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據修建住宅的座數，列出方程。

（x-40）÷30=（2x+40）÷80

（x-40）×80=（2x+40）×30

80x-3200=60x+1200

20x=4400

x=220(米3)

由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可設有紅磚x米3。留給同學們練習。

答：計劃修建住宅6座。

例4   兩個數的和是100，差是8，求這兩個數。

 思路剖析

 這道題有兩個數均為未知數，我們可以設其中一個數為x，那么另一個數可以用100-x或x+8來表示。

 解  答

 解法一：設較小的數為x，那么較大的數為x+8，根據題意“它們的和是100”，可以得到：

x+8+x=100

解這個方程：2x=100-8

所以   x=46

所以  較大的數是  46+8=54

也可以設較小的數為x，較大的數為100-x，根據“它們的差是8”列方程得：

100-x-x=8

所以   x=46

所以  較大的數為100-46=54

答：這兩個數是46與54。

解法二：當然這道題也可以設大數為x，那么較小的數可以用100-x或x-8來表示，根據題意，可得到下面兩個方程：

x-8+x=100

x-(100-x)=8

解這兩個方程，也可以求得較大的數是54，較小的數是46。

例5  如圖是一個平行四邊形，周長為120米，兩個底邊上的高分別為12米和18米，它的面積是多少平方米？

 思路剖析

 此題如果直接設平行四邊形的面積為x平方米，當然要從周長來找等量關系；如果不直接設面積為x平方米，而設其中的一個底為x米（如設12米的高所對應的底是x米），由題意可知，等量關系應從平行四邊形面積來考慮。

 解  答

 解法一：設12米的高所對應的底是x米，則平行四邊形的面積是12x平方米。

12x=（120÷2-x）×18

12x=（60-x）×18

12x=1080-18x

12x+18x=1080

30x=1080

x=36

12x=12×36=432

解法二：設平行四邊形的面積是x平方米。

方程左右兩邊都乘以12和18的最小公倍數36得

3x+2x=2160

5x=2160

x=432

答：它的面積是432平方米。

發散思維訓練

1.丟番圖是古希臘著名的數學家，他的墓志銘與眾不同，碑文是：“過路人！這里埋葬著丟番圖，他一生的六分之一是幸福的童年；又活了一生的十二分之一，面部長起了胡須；隨后是一生的七分之一的單身漢生活；婚后五年，他有了一個兒子；可是，兒子活到在丟番圖一生年齡的一半時，不幸夭折；兒子死后，父親在深深的悲哀中又過了4年也與世長辭……”你能計算出他一生中主要經歷的年齡嗎？

2.今年姐妹倆年齡的和是55歲，若干年前，當姐姐的年齡只有妹妹現在這么大時，妹妹的年齡恰好是姐姐年齡的一半，問姐姐今年多少歲？

3.兩個缸內共有48桶水，甲缸給乙缸加水一倍，然后乙缸又給甲缸加甲缸剩余水的一倍，則兩缸的水量相等，求兩個水缸原來各有多少桶水？

4.早晨6點多鐘有兩輛汽車先后離開學校向同一目的地開去，兩輛汽車離開學校的距離是第二輛汽車的3倍。到6點39分的時候，第一輛汽車離開學校的距離是第二輛汽車的2倍，求第一輛汽車是6點幾分離開學校的？

5.一人乘竹排沿江順水漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他問快艇駕駛員：“你后面有輪船開過來嗎？”快艇駕駛員回答：“半小時前我超過一艘輪船。”竹排繼續順水漂流了1小時遇到了迎面開來的這艘輪船。那么快艇靜水速度是輪船靜水速度的多少倍？

參 考 答 案 

1.解：

由此可得：丟番圖幸福的童年是14歲以前，21歲長胡須，過12年的單身漢生活，21+12=33，33歲結婚，38歲得子，80歲時喪子，兒子只活了42歲，丟番圖活了84歲。

2.解：

若直接設姐姐今年為x歲，則妹妹的年齡不好表示，所以我們設若干年前妹妹年齡為x歲，這樣，姐姐在若干年前就為2x歲，妹妹今年年齡為2x歲，姐姐今年年齡是3x歲，于是，根據“今年姐妹倆年齡和為55歲”這一等量關系，可列方程

2x+3x=55

   5x=55

所以x=1

所以，妹妹今年的年齡為11×2=22（歲）；姐姐今年的年齡為11×3=33（歲）。

答：姐姐今年33歲。

3.解：

設原來甲缸有x桶水，乙缸有（48-x）桶水。甲缸給乙缸加水一倍，則甲缸有水[x-(48-x)]桶，乙缸有水2(48-x)桶，乙缸又給甲缸加甲缸剩余水的一倍，則甲缸有水2[x-(48-x)]桶，乙缸有水{2（48-x）-[x-（48-x）]}桶，根據題意得：

2[x-(48-x)]=2(48-x)-[x-(48-x)]

2x-2(48-x)=2(48-x)-x+(48-x)

3x=5(48-x)

3x=5×48-5x

8x=5×48

x=30

所以48-x=48-30=18

答：甲缸原有水30桶，乙缸原有水18桶。

4.解：

兩輛汽車的速度都是60千米/小時=1千米/分。設在6點32分時第二輛汽車離開學校的距離為x千米，則第一輛汽車離開學校的距離為3x千米，到6點39分時兩輛汽車都行了7分鐘，行程都是7千米，與學校的距離：第二輛汽車為（x+7）千米，第一輛汽車為（3x+7）千米，根據題意得：

2(x+7)=3x+7

2x+14=3x+7

x=7

所以3x=3×7=21

因此，在6點32分時，第一輛車已行駛了21分鐘，32-21=11

答：第一輛汽車是早晨6點11分離開學校的。

5.解：

設快艇靜水速度為m，輪船靜水速度為n,水流速度為v，顯然竹排速度就是水流速度v，由“順流速度=船速+水速，逆流速度=船速-水速”的數量關系進行解答。

這樣，快艇從超過輪船起，遇到竹排（用了0.5小時）止，這段路程（快艇行程）為（m-v）×0.5，而這段路程是竹排行駛1小時、輪船行駛（1+0.5=1.5小時）的路程之和，即v+(n-v)×1.5。因而

（m-v）×0.5=v+(n-v)×1.5

0.5m-0.5v=v+1.5n-1.5v

0.5m-0.5v=1.5n-0.5v

0.5m=1.5n

m÷n=3

答：快艇靜水速度是輪船靜水速度的3倍。