第二冊不等式（通用3篇）
第二冊不等式 篇1
教學目標
1. 使學生掌握不等式的三條基本性質；
2. 培養學生觀察、分析、比較的能力，提高他們靈活地運用所學知識解題的能力.
教學重點和難點
重點：不等式的三條基本性質的運用.
難點：不等式的基本性質3的運用.
課堂教學過程 設計
一、從學生原有的認知結構提出問題
1. 什么叫不等式？說出不等式的三條基本性質.
2. 當x取下列數值時，不等式1-5x＜16是否成立？
3，-4，-3，4，2.5，0，-1.
3. 用不等式表示下列數量關系：
（1） x的3倍大于x的2倍與5的差； （3）y的 與x的 的差小于2；
（2） y的一半與4的和是負數； （4）5與a的4倍的差不是正數.
4. 按照下列條件寫出仍然成立的不等式，并說明根據不等式的哪一條基本性質：
（1）m＞n，兩邊都減去3； （2）m＞n，兩邊同乘以3；
（3）m＞n，兩邊同乘以-3； （4）m＞n，兩邊同乘以-3；
（5）m＞n，兩邊同乘以 .
（以上各題中，從第2題開始，用投影儀打在屏幕上.學生在回答上述問題時，如遇到困難，教師應做適當點撥）在學生回答完上述問題的基礎上，教師指出：本節課我們將通過學習例題和練習，進一步鞏固并熟練掌握不等式的基本性質，尤其是不等式基本性質。
二、講授新課
例1 在下列各題橫線上填入不等號，使不等式成立.并說明是根據哪一條不等式基本性質.
（1）若a–3＜9，則a_____12； （2）若-a＜10，則a_____–10；
（3）若 a＞–1，則a_____–4； （4）若- a＞，則a_____0.
答：（1）a＜12，根據不等式基本性質1. （2）a＞-10，根據不等式基本性質3.
（3）a＞-4，根據不等式基本性質2. （4）a＜0，根據不等式基本性質3.
（在講授本課時，應啟發學和在添加不等號“＞”或“＜”時，要和題目中的已知條件進行對比，觀察它是根據不等式的哪條基本性質，是怎樣由已知條件變形得到的.同時還應強調在運用不等式基本性質3時，不等號要改變方向＝
例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”號填空：
（1）a+2_____2； （2）a-1_____–1； （3）3a_____0； (4)a-1______0; (5)a2 _______0; (6)a3______0; (7)a-1______0; (8)|a|______0.
答：（1）a+2＜2，根據不等式基本性質1. （2）a-1＜-1,根據不等式基本性質1.
（3）因為3a,根據不等式基本性質2. （4）－ ＞0，根據不等式基本性質3.
（5）因為a＜0，兩邊同乘以a＜0，由不等式基本性質3，得a2＞0.
（6）因為a＜0，兩邊同乘以a2＞0，由不等式基本性質2，得a3＜0.
（7）因為a＜0，兩邊同加上－1，由不等式基本性質1，得a－1＜－1.
又已知，－1＜0，所以a－1＜0.
（8）因為.a＜0，所以a≠0，所以｜a｜＞0.
（本例題除了進一步運用不等式的三條基本性質外，還涉及了一些舊的基礎知識，如a＜0表示a是負數；a＞0表示a是正數；｜a｜是非負數.后面幾個小題較靈活，條件由具體數字改為抽象的字母，這里字母代表正數還是代表負數是解決問題的關鍵）
例外 判斷下列各題的推導是否正確？為什么？（投影）（請學生回答）
（1）因為7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7； （2）因為a+8＞4,，所以a＞－4； （3）因為4a＞4b，所以a＞b； （4）因為a＜b，所以 ＜ ＞＇
（5）因為 ＞－1，所以a＞4; (6)因為－1＞－2，所以－a－1＞－a－2；
（7）因為3＞2，所以3a＞2a.
答：（1）正確，根據不等式基本性質3. （2）正確，根據不等式基本性質1.
（3）正確，根據不等式基本性質2. （4）不對，根據不等式基本性質3，應改為 ＞ ； （5）因為 ＞－1，所以a＞4
答：(1)正確，根據不等式基本性質3. (2)正確，根據不等式基本性質1.
(3)正確，根據不等式基本性質2. (4)不對，根據不等式基本性質3，應改為 .
(5)不對，根據不等式基本性質5，應改為a＜4.
(6)正確，根據不等式基本性質1. (7)不對，應分情況逐一討論.
當a＞0時，3a＞2a.(不等式基本性質2)
當a=0時，3a＜2a.
當a＜0時，3a＜2a.(不等式基本性質3)
(當學生在回答本題的過程中，當遇到困難或問題時，教師應做適當引導、啟發、幫助)
三、課堂練習(投影)
1.按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：
(1)由-2＜-1，兩邊都加-a； (2)由-4x＜0，兩邊都乘以- ；
(3)由7＞5，兩邊都乘以不為零的-a.
2用“＞”或“＜”號填空：
(1)當a-b＜0時，a______b： (2)當a＜0,b＜0時，ab_____0；
(3)當a＜0，b＜0時，ab____0； (4)當a＞0,b＜0時，ab____0；
(5)若a____0，b＜0，則ab＞0； (6)若＜0，且b＜0，則a_____0.
四、師生共同小結
在師生共同回顧本節課所學內容的基礎上，教師指出：①在利用不等式的基本性質進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質2還是基本性質3，也就是不等號是否要改變方向的問題；②運用不等式基本性質3時，要變兩個號，一個性質符號，另一個是不等號.
五、作業
1.根據不等式的基本性質，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x-1＜0； (2) x＞- x+6；
(3)3x＞7； (4)- x＜-3.
2.設a＜b，用“＞”或“＞”號連接下列各題中的兩個代數式：
(1)a-1，b-1； (2)a+2,b+2； (3)2a，2b；
(4) ； (5) ； (6)-b，-a.
3.用“＞”號或“＜”號填空：
(1)若a-b＜0，則a_____b； (2)若b＜0，則a+b_____a；
(3)若a=0，則a+b_____b； (4)若 ＜0，則ab_____；
(5)b＜a＜2，則(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).
課堂教學設計說明
由于本節課的教學目標 是使學生進一步掌握不等式基本性質，尤其是基本性質3.故在設計教學過程 時，注意在教師的主導作用下讓學生以練為主，從而使學生在初步掌握不等式的三條基本性質的基礎上，通過口答，筆做，討論等不同的方式的練習，提高學生將不等式正確、靈活進行變形的能力.
第二冊不等式 篇2
目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。
過程：
一、復習：
1.不等式的一個等價命題
2.比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論
二、作差法：（P13—14）
1. 求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2. 已知a, b, m都是正數，并且a < b，求證：
證：
∵a,b,m都是正數，并且a<b，∴b + m > 0 , b - a > 0
∴ 即：
變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？
3. 已知a, b都是正數，并且a ¹ b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ¹ b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4. 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？
解：設從出發地到指定地點的路程為S，
甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，
則： 可得：
∴
∵S, m, n都是正數，且m ¹ n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
從而：甲先到到達指定地點。
變式：若m =n，結果會怎樣？
三、作商法
5. 設a, b Î R+，求證：
證：作商：
當a =b時，
當a > b > 0時，
當b > a > 0時，
∴ （其余部分布置作業 ）
作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。
四、小結：作差、作商
五、作業 ： P15 練習
P18 習題6.3 1—4
第二冊不等式 篇3
不等式的基本性質
劉宏光 （寧夏銀川第二中學）
作者簡歷
劉宏光 廣東揭陽人，19565年畢業于北京工業學院機械系，1953年任太原機械制造廠數學力學教師，1986年被授予中學特級教師，1988年被評為寧夏回族自治區中學高級教師。1985年被評為寧夏銀川市優秀班主任，1986年獲全國五一勞動獎章，并被全國總工會授予全國優秀教育工作者稱號。現任寧夏銀川二中數學教師數學教研組組長。
教學目的
掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。
教學過程
師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？
第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.
第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.
生：第一組都是等式，第二組都是不等式。
師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？
生：表示相等關系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。
師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關系，其中“＞”和“＜”表示大小關系。表示大小關系的不等式是我們中學教學所要研究的。
前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？
生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。
師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。
練習1 (回答)用小于號“<”或大于號“>”填空。
（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6
練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。
（1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？
生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！
師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發生改變呢？
生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。
師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。
練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：
7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。
師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條：
性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向 。
（讓同學回答。）
性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向 。（讓同學回答。）
性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向 。（讓同學回答。）
現在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。
不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來，先請一位同學說一說第一條基本性質。
生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。
師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？
生：沒有什么要求。
師：哪位同學來回答第二、三條性質？
生甲：如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或 )；如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或
生乙：如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或 )；如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或
師：這兩條性質中，對a、b、c有什么要求？
生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數還是負數。
師：很好，c可以為零嗎？
生：c不能為零。因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。
師：好！應用剛才學到的基本性質，我們來看下面的例題。
[例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：
（1）5＜9，兩邊都加上-3；
（2）9＞4，兩邊都減去10；
（3）-5＜3，兩邊都乘以4；
（4）14＞-8，兩邊都除以-2。
解 （1）根據不等式基本性質1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以
5+（-3）＜9+（-3），
2＜6
（2）根據不等式基本性質1，得
9-10＞4-10
-1＞-6
（3）根據不等式基本性質2，得
-5×4＜3×4
-20＜12
（4）根據不等式基本性質3，得
14÷（-2）＜（-8）÷（-2）
-7＜4
[例2]設a＞b，用不等號連結下列各題中的兩式：
（1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b.
師：哪一位同學來做這題？解題時，要講清一步的理由。
生甲：因為a＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質1，得
a-3＞b-3.
師：很好，大家都是這樣做的嗎？
生乙：我是這樣做的，因為a＞b,兩邊都加上（-3），由基本性質1，得
a-3＞b-3.
師：好！這兩位同學從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結論。
生丙：因為a＞b，2＞0，由基本性質2，得2a＞2b。
生丁：因為a＞b，-1＞0，由基本性質3，得-a＞-b。
師：下面我們來看一組較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析。[例3]判斷以下各題的結論是否正確，并說明都理由：
(1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd;
(2)如果a>b,那么ac2>bc2;
(3)如果ac2>bc2,那么a>b;
(4) 如果a>b,那么a-b>0;
(5)如果ax>b,且a≠0，那么x< ;
(6)如果a+b>a;
生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。
生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數，當c=0時，ac2＞bc2不成立。
生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據不等式基本性質2，得a＞b出。
（4）對，根據不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。
（5）不對，當a＜0時，根據不等式基本性質3，得 。
（6）不對，因為當b＜0時，根據不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。
師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。
課外做以下作業 ：略。
教案說明
（1） 不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在初中階段，對不等式的基本性質，并不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規律的重要方法。科學上的許多發現，大多離不開試驗和觀察。大數學家歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，也需要試驗。”通過教學培養學生掌握由試驗發現規律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對初中學生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴密的。
（2） 不等式的基本性質的教學，還應采用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便于和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程 中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，所得到的仍是等式，這個數可以是正數、負數或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，當這個數是正數、負數或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復習已學過的等式有關知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數學的一種重要方法。
（3） 在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數，判定大小關系比較容易。因為這實際上是有理數大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數式時，根據題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關系或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數，按正數、負數或零三種情況加以討論。在教學過程 中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學生說出解題的依據；對于錯誤的見解，教師可以進行啟發引導，發動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發現問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質的認識。