完全平方公式

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是的熟記及應(yīng)用.難點(diǎn)是對(duì)公式特征的理解(如對(duì)公式中積的一次項(xiàng)系數(shù)的理解).是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要的知識(shí)基礎(chǔ)。

1.兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.即：

這兩個(gè)公式是根據(jù)乘方的意義與多項(xiàng)式的乘法法則得到的.

這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征是：左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘，右邊是三項(xiàng)式，是左邊二中兩項(xiàng)的平方和，加上（這兩項(xiàng)相加時(shí)）或減去（這兩項(xiàng)相減時(shí)）這兩項(xiàng)乘積的2倍；公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式.

2.只要符合這一公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式.

在運(yùn)用公式時(shí)，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危�例�?可先變形為 或 或者 ，再進(jìn)行計(jì)算.

在運(yùn)用公式時(shí)，防止發(fā)生 這樣錯(cuò)誤.

3.運(yùn)用計(jì)算時(shí)，要注意：

（1）切勿把此公式與公式 混淆，而隨意寫成 .

（2）切勿把“乘積項(xiàng)” 中的2丟掉.

（3）計(jì)算時(shí)，要先觀察題目特點(diǎn)是否符合公式的條件，若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算，若不能變?yōu)榉�合公式條件的形式，則應(yīng)運(yùn)用乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

4. 與 都叫做.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的，后者叫做兩數(shù)差的.

三、教法建議

1.在公式的運(yùn)用上，與平方差公式的運(yùn)用一樣，應(yīng)著重讓學(xué)生掌握公式的結(jié)構(gòu)特征和字母表示數(shù)的廣泛意義，教科書把公式中的字母同具體題目中的數(shù)或式子，用“ ”連結(jié)起來，逐項(xiàng)比較、對(duì)照，步驟寫得完整，便于學(xué)生理解如何正確地使用進(jìn)行計(jì)算.

2.正確地使用公式的關(guān)鍵是確定是否符合使用公式的條件.重要的是確定兩數(shù)，然后再看是否兩數(shù)的和（或差），最后按照公式寫出兩數(shù)和（或差）的平方的結(jié)果.

3.如何使學(xué)生記牢公式呢？我們注意了以下兩點(diǎn).

（1）既講“法”，又講“理”

在教學(xué)中要講法則、公式的應(yīng)用，也要講公式的推導(dǎo)，使學(xué)生在理解公式、法則道理的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶.我們引導(dǎo)學(xué)生借助面積圖形對(duì)做直觀說明，也是對(duì)說理的重視.在“明白道理”這個(gè)前提下的記憶，即使學(xué)生將來發(fā)生錯(cuò)誤也易于糾正.

（2）講聯(lián)系、講對(duì)比、講特點(diǎn)

對(duì)于類似的內(nèi)容學(xué)生容易混淆，比如在本節(jié)出現(xiàn)的(a+b)²=a²+b²的錯(cuò)誤，其原因是把和“舊”知識(shí)(ab)²=a²b²及分配律弄混，排除新舊知識(shí)間相互干擾的一種作法是向?qū)W生指明新知識(shí)的特點(diǎn).所以講“理”是要講聯(lián)系、講對(duì)比、講特點(diǎn).

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.理解的意義，準(zhǔn)確掌握兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征.

2.熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.

3.通過推導(dǎo)公式訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索規(guī)律的能力.

4.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的數(shù)學(xué)思想.

5.滲透數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)美、和諧美.

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法：嘗試指導(dǎo)法、講練結(jié)合法.

2.學(xué)生學(xué)法：本節(jié)學(xué)習(xí)了乘法公式中的完全平方，一個(gè)是兩數(shù)和的平方，另一個(gè)是兩數(shù)差的平方，兩者僅一個(gè)“符號(hào)”不同.相乘的結(jié)果是兩數(shù)的平方和，加上（或減去）兩數(shù)的積的2倍，兩者也僅差一個(gè)“符號(hào)”不同，運(yùn)用計(jì)算時(shí)，要注意：

（1）切勿把此公式與公式 混淆，而隨意寫成 .

（2）切勿把“乘積項(xiàng)”2ab中的2丟掉.

（3）計(jì)算時(shí)，要先觀察題目是否符合公式的條件.若不符合，應(yīng)先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算；若不能變?yōu)榉�合條件的形式，則應(yīng)運(yùn)用乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

  三、重點(diǎn)·難點(diǎn)及解決辦法

（一）重點(diǎn)

掌握公式的結(jié)構(gòu)特征和字母表示的廣泛含義，正確運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.

（二）難點(diǎn)

綜合運(yùn)用平方差公式與進(jìn)行計(jì)算.

（三）解決辦法

加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的深入理解，在反復(fù)練習(xí)中掌握公式的應(yīng)用.

四、課時(shí)安排

一課時(shí).

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀或電腦、自制膠片.

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.讓學(xué)生自編幾道符合平方差公式結(jié)構(gòu)的計(jì)算題，目的是辨認(rèn)題目的結(jié)構(gòu)特征.

2.引入，讓學(xué)生用文字概括公式的內(nèi)容，培養(yǎng)抽象的數(shù)字思維能力.

3.舉例分析如何正確使用，師生共練完成本課時(shí)重點(diǎn)內(nèi)容.

4.適時(shí)練習(xí)并總結(jié)，從實(shí)踐到理論再回到實(shí)踐，以指導(dǎo)今后的解題.

七、教學(xué)步驟 

（一）明確目標(biāo)

本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)及其應(yīng)用.

（二）整體感知

掌握好的關(guān)鍵在于能正確識(shí)別符合公式特征的結(jié)構(gòu)，同時(shí)還要注意公式中2ab中2的問題，在解題過程中應(yīng)多觀察、多思考、多揣摩規(guī)律.

（三）教學(xué)過程 

1.計(jì)算導(dǎo)入  ；求得公式

（1）敘述平方差公式的內(nèi)容并用字母表示；

（2）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算

 ①103×97

 ②103 × 103

（3）請(qǐng)同學(xué)們自編一個(gè)符合平方差公式結(jié)構(gòu)的計(jì)算題，并算出結(jié)果.

學(xué)生活動(dòng)：編題、解題，然后兩至三個(gè)學(xué)生說出題目和結(jié)果.

要想用好公式，關(guān)鍵在于辨認(rèn)題目的結(jié)構(gòu)特征，正確使用公式，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“乘

法公式”.

引例：計(jì)算 ，

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算 ， ，兩名學(xué)生板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后說出答案，得出公式.

或合并為：

教師引導(dǎo)學(xué)生用文字概括公式.

方法：由學(xué)生概括，教師給予肯定、否定或更正，同時(shí)板書.

兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.

【教法說明】

①復(fù)習(xí)平方差公式，主要是引起回憶，鞏固公式；編題在于提高興趣.

②有了平方差公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生基本建立起了一些特殊多項(xiàng)式乘法的認(rèn)識(shí)方法，因此推導(dǎo)可以由計(jì)算直接得出.

2.結(jié)合圖形，理解公式

根據(jù)圖形完成下列問題：

如圖：A、B兩圖均為正方形，

（1）圖A中正方形的面積為____________，（用代數(shù)式表示）

圖Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為_______________________。

（2）圖B中，正方形的面積為____________________，

Ⅲ的面積為______________，

Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為____________，

用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積_________________。

分別得出結(jié)論：

學(xué)生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下回答問題.

【教法說明】利用圖形講解，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的直觀理解，以便更好地掌握公式，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3.探索新知，講授新課

（1）引例：計(jì)算

教師講解：在 中，把x看成a，把2y看成b，在 中把2x看成a，把3y看成b，則 、 ，就可用來計(jì)算，即

【教法說明】  引例的目的在于使學(xué)生進(jìn)一步理解公式的結(jié)構(gòu)，為運(yùn)用公式打好基礎(chǔ).

（2）例1  運(yùn)用計(jì)算：

① ② ③

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立在練習(xí)本上嘗試解題，3個(gè)學(xué)生板演.

【教法說明】  讓學(xué)生先模仿公式解題，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)一些問題，這也正是學(xué)生對(duì)公式理解、應(yīng)用和熟練程度上存在的需要解決的問題，反饋后要緊扣公式，重點(diǎn)講解，達(dá)到解決問題的目的，關(guān)于例呈中（3）的計(jì)算，可對(duì)照公式直接計(jì)算，也可變形成 ，然后再進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)也可訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)的能力.

4.嘗試反饋，鞏固知識(shí)

練習(xí)一

運(yùn)用計(jì)算：

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7） （8） （9）

（l0）

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后同學(xué)互評(píng)，教師抽看結(jié)果，練習(xí)中存在的共性問題要集中解決.

5.變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力

練習(xí)二

運(yùn)用計(jì)算：

（l） （2） （3） （4）

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，選代表解答.

練習(xí)三

（1）有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，共同計(jì)算，以下是他們的計(jì)算過程，請(qǐng)判斷他們的計(jì)算是否正確，不正確的請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里.

甲的計(jì)算過程是：原式

乙的計(jì)算過程是：原式

丙的計(jì)算過程是：原式

丁的計(jì)算過程是：原式

（2）想一想， 與 相等嗎？為什么？

與 相等嗎？為什么？

學(xué)生活動(dòng)：觀察、思考后，回答問題.

【教法說明】  練習(xí)二是一組數(shù)字計(jì)算題，使學(xué)生體會(huì)到公式的用途，也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也起到加深理解公式的作用.練習(xí)三第（l）題實(shí)際是課本例4，此題是與平方差公式的綜合運(yùn)用，難度較大.通過給出解題步驟，讓學(xué)生進(jìn)行判斷，使難度降低，學(xué)生易于理解，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生分析這類題的結(jié)構(gòu)特征，掌握解題方法.通過完成第（2）題使學(xué)生進(jìn)一步理解 與 之間的相等關(guān)系，同時(shí)加深理解代數(shù)中“a”具有的廣泛意義.

練習(xí)四

運(yùn)用乘法公式計(jì)算：

（l） （2）

（3） （4）

學(xué)生活動(dòng)：采取比賽的方式把學(xué)生分成四組，每組完成一題，看哪一組完成得快而且準(zhǔn)確，每組各派一個(gè)學(xué)生板演本組題目.

【教法說明】  這樣做的目的是訓(xùn)練學(xué)生的快速反應(yīng)能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，同時(shí)也激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛.

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了乘法公式中的.

引導(dǎo)學(xué)生舉例說明公式的結(jié)構(gòu)特征，公式中字母含義和運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)該注意的問題.

八、布置作業(yè) 

P133  1，2.（3）（4）.

參考答案

略.