數學教案－多項式的乘法
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節教學的重點是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟練地計算.難點是理解并掌握公式.本節內容是進一步學習乘法公式及后續知識的基礎.
1.多項式乘法法則，是多次運用單項式與多項式相乘的法則得到的.計算 時，先把 看成一個單項式， 是一個多項式，運用單項式與多項式相乘的法則，得到
然后再次運用單項式與多項式相乘的法則，得到：
2.含有一個相同字母的兩個一次二項式相乘，得到的積是同一字母的二次三項式，它的二次項由兩個因式中的一次項相乘得到；積的一次項是由兩個因式中的常數基分別乘以兩個因式中的一次項后，合并同類項得到；積的常數項等于兩個因式中常數項的積.如果因式中一次項的系數都是1，那么積的二次項系數也是1，積的一次項系數等于兩個因式中的常數項的和，這就是說，如果用 、 分別表示一個含有系數是1的相同字母的兩個一次二項式中的常數項，則有
3.在進行兩個多項式相乘、直接寫出結果時，注意不要“漏項”.檢查的辦法是：兩個多項式相乘，在沒有合并同類項之前，積的項數應是這兩個多基同甘共苦的積.如 積的項數應是 ，即六項：
當然，如有同類項則應合并，得出最簡結果.
4.運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏，為此，相乘時，要按一定的順序進行.例如， ，可先用第一個多項式中的第一項“ ”分別與第二個多項式的每一項相乘，再用第一個多項式中的第二項“ ”分別與第二個多項式的每一項相乘，然后把所得的積相加，即 .
5.多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.
6.注意確定積中每一項的符號，多項式中每一項都包含它前面的符號，“同號得正，異號得負”.
三、教法建議
教學時，應注意以下幾點：
（1）要防止兩個多項式相乘，直接寫出結果時“漏項”.檢查的辦法是：兩個多項式相乘，在沒有合并同類項之前，積的項數應是這兩個多項式項數的積.如 ，
積的項數應是 ，即四項 當然，如有同類項，則應合并同類項，得出最簡結果.
（2）要不失時機地指出：多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定積中各項的符號.
（3）例2的第（1）小題是乘法的平方差公式，例2的第（2）小題是兩數和的完全平方公式.實際上任何乘法公式都是直接用多項式乘法計算出來的.然后，我們把這種特殊形式的乘法連同它的結果作為公式.這里只是為后面學習乘法公式作準備，不必提它們是乘法公式，分散學生的注意力.當然，在講解這個1題時，要講清它們在合并同類項前的項數.
（4）例3是另一種形式的多項式的乘法，要講清楚兩個因式的特點，積與兩個因式的關系.總之，要講清楚這種特殊形式的兩個多項式相乘的規律，使學生在計算這種類型的題目時，能夠迅速地求得結果.如對于練習第1題中的
，
等等，能夠直接寫出結果.
教學設計示例
一、教學目標
1.理解和掌握單項式與多項式乘法法則及其推導過程.
2.熟練運用法則進行單項式與多項式的乘法計算.
3.通過用文字概括法則，提高學生數學表達能力.
4.通過反饋練習，培養學生計算能力和綜合運用知識的能力.
5.滲透公式恒等變形的和諧美、簡潔美.
二、學法引導
1.教學方法：討論法、講練結合法.
2.學生學法：本節主要學習了多項式的乘法法則和一個特殊的二項式乘法公式，在學習時應注意分析和比較這一法則和公式的關系，事實上它們是一般與特殊的關系.當遇到多項式乘法時，首先要看它是不是 的形式，若是則可以用公式直接寫出結果，若不是再應用法則計算.
三、重點、難點及解決辦法
（一）重點
多項式乘法法則.
（二）難點
利用單項式與多項式相乘的法則推導本節法則.
（三）解決辦法
在用面積法推導多項式與多項式乘法法則過程中，應讓學生充分理解多項式乘法法則的幾何意義，這樣既便于學生理解記憶公式，又能讓學生在解題過程中準確地使用.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀或電腦、自制膠片、長方形演示紙板.
六、師生互動活動設計
1.設計一組練習，以檢查學生單項式乘以多項式的掌握情況.
2.嘗試從多角度理解多項式與多項式乘法：
（1）把 看成一單項式時，
.
（2）把 看成一單項式時，
.
（3）利用面積法
3.在理解上述過程的基礎之上，引導學生歸納并指出多項式乘法的規律.
4.通過舉例，教師的示范，學生的嘗試練習，不斷鞏固新學的知識.對于遇到的特殊二項式相乘可利用特殊的公式加以解決，并注意一般與特殊的關系.
七、教學步驟
（一）明確目標
本節課將學習多項式與多項式相乘的乘法法則及其特殊形式的公式的應用.
（二）整體感知
多項式與多項式的相乘關鍵在于展開式中的四項是如何得到的，這里教師應注重引導學生細心觀察、品味法則的規律性，實質就在于讓一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項遍乘既不能漏又不能重復.對特殊的多項式相乘可運用特殊的辦法去處理
（三）教學過程
1.創設情境，復習導入
（1）回憶單項式與多項式的乘法法則.
（2）計算：
① ②
③ ④
學生活動：學生在練習本上完成，然后回答結果.
【教法說明】多項式乘法是以單項式乘法和單項式與多項式相乘為基礎的，通過復習引起學生回憶，為本節學習提供鋪墊和思想基礎.
2.探索新知，講授新課
今天，我們在以前學習的基礎上，學習多項式的乘法.
多項式的乘法就是形如 的計算.
這里 都表示單項式，因此 表示多項式相乘，那么如何對 進行計算呢？若把 看成一個單項式，能否利用單項式與多項式相乘的法則計算呢？請同桌同學互相討論，并試著進行計算.
學生活動：同桌討論，并試著計算（教師適當引導），學生回答結論.
|
【教法說明】多項式乘法法則，是兩次運用單項式與多項式相乘的法則得到的.這里的關鍵在于讓學生理解，將 看成一個單項式，然后運用單項式與多項式相乘的法則進行計算，讓學生討論并試著計算，目的是培養學生分析問題、解決問題的能力，鼓勵學生積極探索知識、善于發現規律、主動參與學習.
3.總結規律，揭示法則
對于 的計算過程可以表示為：
教師引導學生用文字表述多項式乘法法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的第一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.
如計算 ： 看成公式中的 ；－1看成公式中的 ； 看成公式中的 ；3看成公式中的 .運用法則 中的每一項分別去乘 中的每一項，計算可得： .
學生活動：在教師引導下細心觀察、品味法則.
【教法說明】借助算式圖，指出 的得出過程，實質就是用一個多項式的“每一項”乘另一個多項式的“每一項”，再把所得積相加的過程.可以達到兩個目的：一是直觀揭示法則，有利于學生理解；二是防止學生出現運用法則進行計算時“漏項”的錯誤，強調法則，加深理解，同時明確多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號.
這個法則還可利用一個圖形明顯地表示出來.
（1）這個長方形的面積用代數式表示為_____________.
（2）Ⅰ的面積為________；Ⅱ的面積為________；Ⅲ的面積為________；Ⅳ的面積為_______.
結論：即.
學生活動：隨著教師的演示，邊思考，邊回答問題.
【教法說明】利用圖形的直觀性，使學生進一步理解、掌握這一法則，滲透數形結合的思想，培養學生觀察、分析圖形的能力.
4.運用知識，嘗試解題
例1 計算：
（1） （2）
（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
【教法說明】例1的目的是熟悉、理解法則.完成例1時，要求學生緊扣法則，按法則的文字敘發“一步步”解題，注意最后要合并同類項.讓學生參與例題的解答，旨在強化學生的參與意識，使其主動思考.
例2 計算：
（1） （2）
學生活動：在教師引導下，說出解題過程.
解：（1）原式
（2）原式
【教法說明】例2的兩個小題是后面要講到的乘法公式，但目前仍按多項式乘法法則計算，無需說明它們是乘法公式，此題的目的在于為后面的學習做準備.
5.強化訓練，鞏固知識
（1）計算：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
（2）計算：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
學生活動：學生在練習本上完成.
【教法說明】本組練習的目的是：①使學生進一步理解法則，熟練運用法則進行計算.②訓練學生計算的準確性，培養計算能力.③對乘法公式先有一個模糊印象，為以后的學習打下基礎.
（四）總結、擴展
這節課我們學習了多項式乘法法則，請同學們回答問題：
1.敘述多項式乘法法則.
2.談談這節課你的學習體會.
學生活動：學生分別回答上述問題.
【教法說明】通過讓學生自己談學習體會，既可以達到總結歸納本節知識的目的，形成完整印象，又可以提高學生的總結概括能力.
八、布置作業
P120 A組 1.（1）（3）（5）（7），2.（2）（3），3.（1）（3）（8）.
參考答案
1.（1）原式
（3）原式
（5）原式
（7）原式
2.（2）原式
（3）原式
3.（1）原式
（3）原式
（8）原式