不等式和它的基本性質

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節教學的重點是不等式的三條基本性質.難點是不等式的基本性質3.掌握不等式的三條基本性質是進一步學習一元一次不等式（組）的解法等后續知識的基礎.

1.不等式的概念

用不等號（“＜”、“＞”或“≠”表示不等關系的式子，叫做不等式.

另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）結合起來，讀作“大于或等于”，或記作“≮”，亦即“不小于”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”結合起來，讀作“小于或等于”，或記作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式.

2.當不等式的兩邊都加上或乘以同一個正數或負數時，所得結果仍是不等式.但變形所得的不等式中不等號的方向，有的與原不等式中不等號的方向相同，有的則不相同.因而敘述時不能籠統說成“……仍是不等式”，而應明確變形所得的不等式中不等號的方向.

3.不等式成立與不等式不成立的意義

例如：在不等式 中，字母 表示未知數.當 取某一數值 時， 的值小于2，我們就說當 時，不等式 成立；當 取另外某一個數值 時， 的值不小于2，我們就說當 時， 不等式不成立.

4.不等式的三條基本性質是不等式變形的重要依據，性質1、2類似等式性質，不等號的方向不改變，性質3不等號的方向改變，這是不等式獨有的性質，也是初學者易錯的地方，因此要特別注意.

一、素質教育目標

（－）知識教學點

1.了解不等式的意義.

2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

3.能依題意準確迅速地列出相應的不等式.

（二）能力訓練點

1.培養學生運用類比方法研究相關內容的能力.

2.訓練學生運用所學知識解決實際問題的能力.

（三）德育滲透點

通過引導學生分析問題、解決問題，培養他們積極的參與意識，競爭意識.

（四）美育滲透點

通過不等式的學習，滲透具有不等量關系的數學美.

二、學法引導

1.教學方法：觀察法、引導發現法、討論法.

2.學生學法：只有準確理解不等號的幾種形式的意義，才能在實際中進行靈活的運用.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

（一）重點

掌握不等式是否成立的判定方法；依題意列出正確的不等式.

（二）難點

依題意列出正確的不等式

（三）疑點

如何把題目中表示不等關系的詞語準確地翻譯成相應的數學符號.

（四）解決方法

在正確理解不等號的意義后，通過抓住體現不等量的關系的詞語就能準確列出相應的不等式.

四、課時安排

一課時.

五、教具學具準備

投影儀或電腦、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.創設情境，通過復習有關等式的知識，自然導入  新課的學習，激發學生的學習熱情.

2.從演示的有關實驗中，探究相應的不等量關系，從學生的討論、分析中探究代數式的不等關系的幾種常見形式.

3.從師生的互動講解練習中掌握不等式的有關知識，并培養學生具有一定的靈活應用能力.

七、教學步驟

（一）明確目標

本節課主要學習依題意正確迅速地列出不等式.

（二）整體感知

通過復習等式創設情境，自然過渡到不等式的學習過程中，又通過細心的分析、審題尋找出正確的不等量關系，從而列出正確的不等式.

（三）教學過程

1.創設情境，復習導入  

我們已經學過等式和它的基本性質，請同學們觀察下面習題，思考并回答：

（1）什么是等式？等式中“＝”兩側的代數式能否交換？“＝”是否具有方向性？

（2）已知數值：－5， ，3，0，2，7，判斷：上述數值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？

學生活動：首先自己思考，然后指名回答.

教師釋疑：①“＝”表示相等關系，它沒有方向性，等號兩例可以相互交換，有時不交換只是因為書寫習慣，例如方程的解 .

②判斷數取何值，等式 成立和不成立實質上是在判斷給定的數值是否為方程 的解，因為等式 為一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 時成立，此外，均不成立.

【教法說明】設置上述習題，目的是使學生溫故而知新，為學習本節內容提供必要的知識準備.

2.探索新知，講授新課

不等式和等式既有聯系，又有區別，大家在學習時要自覺進行對比，請觀察演示實驗并回答：演示說明什么問題？

師生活動：教師演示課本第54頁天平稱物重的兩個實例（同時指出演示中物重為 克，每個砝碼重量均為1克），學生觀察實驗，思考后回答：演示中天平若不平衡說明天平兩邊所放物體的重量不相等.

【教法說明】結合實際生活中同類量之間具有一種不相等關系的實例引入不等式的知識，能激發學生的學習興趣.

在實際生活中，像演示這樣同類量之間具有不相等關系的例子是大量的、普遍的，這種關系需用不等式來表示.那么什么是不等式呢？請看：

， ，

， ，

提問：（l）上述式子中有哪些表示數量關系的符號？（2）這些符號表示什么關系？（3）這些符號兩側的代數式可以隨意交換位置嗎？（4）什么叫不等式？

學生活動：觀察式予，思考并回答問題.

答案：（1）分別使用“＜”“＞”“≠”.（2）表示不等關系.（3）不可以隨意互換位置.（4）用不等號表示不等關系的式子叫不等式.

不等號除了“＜”“＞”“≠”之外，還有無其他形式？

學生活動：同桌討論，嘗試得到結論.

教師釋疑：①不等號除“＜”“＞”“≠”外，還有“≥”“≤”兩種形式（“≥”是指“＞”與“＝”結合起來，讀作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”讀作“小于或等于”，也可理解成“不大于”.）現在，我們來研究用“＞”“＜”表示的不等式.

②不等號“＞”“＜”表示不等關系，它們具有方向性，因而不等號兩側不可互交換，例如 ，不能寫成 .

【教法說明】①通過學生自己觀察思考，進而猜測出不等式的意義，這種教法充分發揮了學生的主體作用.

②通過教師釋疑，學生對不等號的種類及其使用有了進一步的了解.

3.嘗試反饋，鞏固知識

同類量之間的大小關系常用“＞”“＜”來表示，請同學們根據自己對不等式的理解，解答習題.

（1）用“＜”或“＞”境空.（搶答）

①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4.

（2）用不等式表示：

① 是正數；② 是負數；③ 與3的和小于6；④ 與2的差大于－1；⑤ 的4倍大于等于7；⑥ 的一半小于3.

（3）學生獨立完成課本第55頁例1.

注意：不是所有同類量都可以比較大小，例如不在同一直線上的兩個力，它們只有等與不等關系，而無大小關系，這一點無需向學生說明.

學生活動：第（l）題搶答；第（2）題在練習本上完成，由兩個學生板演，完成之后，由學生判斷板演是否正確

教師活動：巡視輔導，統計做題正確的人數，同時給予肯定或鼓勵.

【教法說明】①第（1）題是為了調動積極性，強化競爭意識；第（2）題則是為了訓練學生書面表述能力.

②教學時要注意引導學生將題目中表示不等關系的詞語翻譯成相應的不等號，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示.

下面研究什么使不等式成立，請同學們嘗試解答習題：

已知數值；－5， ，3，0，2，－2.5，5.2；

（1）判斷：上述數值哪些使不等式 成立？哪些使 不成立？

（2）說出幾個使不等式 成立的 的數值；說出幾個使 不成立的 數值.

學生活動：同桌研究討論，嘗試得到答案.

教師活動：引導學生回答，使未知數 的取值不僅有正整數，還有負數、零、小數.

師生總結：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等號兩側數值的大小關系與不等另一致，稱不等式成立；否則不成立.例如對于 ；當 時， 的值小于6，就說 時不等式 成立；當 時， 的值不小于6，就說 時， 不成立.

【教法說明】通過學生自己舉例，培養他們運用已有的知識探索新知識的意識，同時也活躍了課堂氣氛.

4.變式訓練，培養能力

（1）當 取下列數值時，不等式 是否成立？

－7，0，0.5，1， ，10

（2）①用不等式表示： 與3的和小于等于（不大于）6；

②寫出使上述不等式成立的幾個 的數值；

③ 取何值時，不等式 總成立？取何值時不成立？

學生在練習本上完成1題，2題，同桌訂正；教師抽查，強調注意事項.

【教法說明】

①使學生進一步了解使不等式成立的未知數的值可以有多個，為6.2講解不等式的解集做準備.

②強化思維能力和歸納總結能力.

（四）總結、擴展

學生小結，師生共同完善：

本節課的重點內容：1.掌握不等式是否成立的判斷方法；2.依題意列出正確的不等式.

注意：列不等式時，要注意把表示不等關系的詞語用相慶的不等號來表示.例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，這一點學生容易出現錯誤.

八、布置作業 

（一）必做題：P61  A組1，2，3.

（二）選做題：

1.單項選擇

（1）絕對值小于3的非負整數有（ ）

A.1，2 B.0，1 C.0，1，2 D.0，1，3

（2）下列選項中，正確的是（ ）

A. 不是負數，則

B. 是大于0的數，則

C. 不小于－1，則

D. 是負數，則

2.依題意列不等式

（1） 的3倍與7的差是非正數

（2） 與6的和大于9且小于12

（3）A市某天的最低氣溫是－5℃，最高氣溫是10℃，設這天氣溫為 ℃，則 滿足的條件是____________________.

【設計說明】1.再現本節重點，鞏固所學知識.

2.有層次性地布置作業 ，可以調動全體學生的學習積極性，這也是實施素質教育的具體體現.

參考答案

1.＜，＜，＞，＞，＜，＜

2.5.2，6，8.3，11是 的解，－10，－7，－4. 5，0，3不是解

3.（1） （2） （3） （4）

（二）1.（1）C （2）D

2.（1） （2） （3）

九、板書設計

6.1  （一）

一、什么叫不等式？

用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等關系的式子叫不等式.

重點研究“＞”“＜”

二、依題意列不等式

“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；

三、不等式 能否成立

時， （√）； 時， （×）；

時， （×）

四、歸納總結重點

（一）依題意列不等式.

（二）會判斷不等式是否成立.

十、背景知識與課外閱讀

費  馬  數

費馬（P.de Fermat）是17世紀法國著名數學家，是法國南部土魯斯議會的議員，他在數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻.他無意發表自己的著作，平生沒有完整的著作問世.去世后，人們才把他寫在書頁空白處和給朋友的書信中，以及一些陳舊手稿中的論述收集匯編成書.費馬特別愛好數論，在這方面有好幾項成就，如費馬數、費馬小定理、費馬大定理等.

費馬于1640年前后，在驗算了形如

的數當 的值分別為

3，5，17，257，65537

后（請注意這些數均為質數）便宣稱：對于為任何自然數，是質數.

大約過了100年，1732年數學家歐拉（L.Euler）指出

.

從而否定了費馬的上述結論（猜想）.

爾后，人們又對 進行了大量研究，發現在 中，除了上述五個質數外，人們尚未再發現新的質數.

雖然費馬的這個猜想是錯誤的，但為了紀念這位數學家，人們仍把這種形式的數叫做費馬數.