三元一次方程組的解法舉例
教學建議
一、重點、難點分析
本節教學的重點是掌握三元一次方程組的解法，教學難點 是解法的靈活運用.能夠熟練的解三元一次方程組是進一步學習一次方程組的應用，以及一次不等式組的解法的基礎.
1.方程組有三個未知數，每個方程的未知項的次數都是1，并且一共有三個方程，這樣的方程組就是三元一次方程組.
2.三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再轉化為一元一次方程.
3.如何消元，首先要認真觀察方程組中各方程系數的特點，然后選擇最好的解法.
4.有些特殊方程組，可用特殊的消元方法，有時一下子可消去兩個未知數，直接求出一個未知數值來.
5.解一次方程組的消元“轉化”基本思想，可以推廣到“四元”、“五元”等多元方程組，這是今后要學習的內容.
二、知識結構
三、教法建議
1. 解三元一次方程組時，由于方程較多，學生容易出錯.因此，應提醒學生注意，在消去一個未知數得出比原方程組少一個未知數的二元一次方程組的過程中，原方程組的每一個方程一般都至少要用到一次.
2. 消元時，先要考慮好消去哪一個未知數.開始練習時，可以先把要消去的未知數寫出來（如教科書在分析中所寫的那樣），然后再進行消元.
在例2中，如果先確定消去 ，那么這三個方程兩兩分組的方法有3種；①與②，①與③，②與③.我們可以從中任選2種消去 .這里特別要注意選定2種后，必須消去同一個未知數.如果違背了這一點，所得的兩個新方程雖然各含兩個未知數，但由它們組成的方程組仍然含有三個未知數，這在實際上沒有消元.
教學設計示例
一、素質教育目標
（一）知識教學點
1.知道什么是三元一次方程.
2.會解某個方程只有兩元的簡單的三元一次方程組.
3.掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元或一元的思路.
（二）能力訓練點
1.培養學生分析能力，能根據題目的特點，確定消元方法、消元對象.
2.培養學生的計算能力、訓練解題技巧.
（三）德育滲透點
滲透“消元”的思想，設法把未知數轉化為已知.
（四）美育滲透點
通過本節課的學習，滲透方程恒等變形的數學美，以及方程組解的奇異美.
二、學法引導
1.教學方法：觀察法、討論法、練習法.
2.學生學法：三元一次方程組比二元一次方程組要復雜些，有些題的解法技巧性較強，因此在解題前必須認真觀察方程組中各個方程的系數特點，選擇好先消去的“元”，這是決定解題過程繁簡的關鍵.一般來說應先消去系數最簡單的未知數.
三、重點·難點·疑點及解決辦法
（一）重點
使學生會解簡單的三元一次方程組，經過本課教學進一步熟悉解方程組時“消元”的基本思想和靈活運用代入法、加減法等重要方法.
（二）難點
針對方程組的特點，選擇最好的解法.
（三）疑點
如何進行消元.
（四）解決辦法
加強理解二元及三元一次方程組的解題思想是“消元”，故在求解中為便于計算應選擇系數較簡單的未知數將它消去.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、自制膠片.
六、師生互動活動設計
1.教師先復習解二元一次方程組的解題思想及辦法，讓學生充分理解方程組的消元思想及方法.
2.教師由引例引出三元一次方程組，由學生思考、討論后解決如何消三元變二元，教師講解、小結.
3.由學生嘗試，解決例題.
4.學生練習，教師小結、講評.
七、教學步驟
（一）明確目標
本節課將學習如何求三元一次方程組的解.
（二）整體感知
通過復習二元一次方程組的解題思想，從而類推出三元一次方程組的解題思想及解題方法，讓學生牢牢抓住利用消元的思想化三元為二元，再化二元為一元的辦法來求解.
（三）教學過程
1.復習導入 、探索新知
（1）解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？（2）解二元一次方程組的基本思想是什么？
甲、乙、丙三數的和是26，甲數比乙數大1，甲數的兩倍與丙數的和比乙數大18，求這三個數.
題目中有幾個未知數？含有幾個相等關系?你能根據題意列出幾個方程？
學生活動：回答問題、設未知數、列方程.
這個問題必須三個條件都滿足，因此，我們把三個方程合在一起，寫成下面的形式：
這個方程組有三個未知數，每個方程的未知數的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，就是我們要學的三元一次方程組.
怎樣解這個三元一次方程組呢？你能不能設法消云一個或兩個未知數，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？
學生活動：思考、討論后說出消元方案.
教師對學生的回答給予肯定或否定，糾正后說出消元方案：依照代入法，由較簡單的方程②，可得 ④，進一步將④分別代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程組.
解：由②，得 ④
把④代入①，得 ⑤
把④代入③，得 ⑥
⑤與⑥組成方程組
解這個方程組得
把 代入④，得
∴
∴
注意：a.得二元一次方程組后，解二元一次方程的過程在練習本上完成.
b.得 ， 后，求 ，要代入前面最簡單的方程④.
c.檢驗.
這道題也可以用加減法解，②中不含 ，那么可以考慮將①與③結合消去，與②組成二元一次方程組.
學生活動：在練習本上用加減法解方程組.
【教法說明】通過一題多解，不僅能開闊學生的思維，培養學生的興趣，而且，可以鞏固解方程組時通過“消元”把未知轉化為已知的基本思想.
2.學生嘗試解決例題
例1 解方程組
學生活動：獨立分析、思考，嘗試解題，有的學生可能用代入法解，有的學生可能用加減法解，選一個用加減法解的學生板演，然后，讓用代入法的學生比較哪種方法簡單.
解：②×3＋③，得 ④
①與④組成方程組
解這個方程組，得
把 ， 代入②，得
∴
∴
歸納：這個方程組的特點是方程①不含 ，而②、③中 的系數絕對值成整數倍關系，顯然用加減法從②、③中消去 后，再與①組成只含 、 的二元一次方程組的解法最為合理.而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③較繁.
【教法說明】有了前例的基礎，讓學生獨立嘗試解題，可以培養他們分析問題、解決問題的能力；在解題后歸納題目的特點為，點明消元方法和消元對象，更有助于學生探索方法、掌握技巧.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習：P30 （1）.
學生活動：獨立完成練習后，同桌、前后桌之間按不同解法的同學交換，看哪種方法最簡單.
4.變式訓練要，培養能力
補例：解方程組
學生活動：獨立完成.
【教法說明】此方程組中方程①、③中 、 的系數完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 .這道題直接化三元為一元，能使學生體會到解法技巧的重要性，覺得數學問題真是奧妙無窮!
（四）總結、擴展
1.解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？
2.解題前要認真觀察各方程的系數特點，選擇最好的解法，當方程組中某個方程只含二元時，一般的，這個方程中缺哪個元，就利用另兩個方程用加減法消哪個元；如果這個二元方程系數較簡單，也可以用代入法求解.
3.注意檢驗.
【教法說明】這樣總結，既突出了本課重點，又突出了本節內容中例題、習題的特點—某個方程只含兩元，使學生在以后解題時有很強的針對性.
八、布置作業
（一）必做題：P31 A組1.
（二）選做題：解方程組
（三）思考題：課本第32頁“想一想”.
【教法說明】作業 （一）是為了鞏固本節所學知識；作業 （二）有很強的技巧性，可培養學生興趣；作業 （三）培養學生分析問題、解決問題的能力.