簡易方程

教學目標

1.會解，并能用解簡單的應用題；

2.通過代數(shù)法解進一步培養(yǎng)學生的運算能力，發(fā)展學生的應用意識；

3.通過解決問題的實踐，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的鉆研精神。
教學建議

一、教學重點、難點

重點：的解法；

難點：根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系正確地列出方程并求解。

二、重點、難點分析

解的基本方法是：將方程兩邊同時加上（或減去）同一個適當?shù)臄?shù)；將方程兩邊同時乘以（或除以）同一個適當?shù)臄?shù)。最終求出問題的解。

判斷方程求解過程中兩邊加上（或減去）以及乘以（或除以）的同一個數(shù)是否“適當”，關(guān)鍵是看運算的第一步能否使方程的一邊只含有帶有未知數(shù)的那個數(shù)，第二步能否使方程的一邊只剩下未知數(shù)，即求出結(jié)果。

列解應用題是以列代數(shù)式為基礎(chǔ)的，關(guān)鍵是在弄清楚題目語句中各種數(shù)量的意義及相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，選取適當?shù)奈粗獢?shù)，然后把與數(shù)量有關(guān)的語句用代數(shù)式表示出來，最后利用題中的相等關(guān)系列出方程并求解。

三、知識結(jié)構(gòu)

導入   方程的概念 解 利用解應用題。

四、教法建議

（1）在本節(jié)的導入  部分，須使學生理解的是算術(shù)運算只對已知數(shù)進行加、減、乘、除，而代數(shù)運算的優(yōu)越性體現(xiàn)在未知數(shù)獲得與已知數(shù)平等的地位，即同樣可以和已知數(shù)進行加、減、乘、除運算。對于方程、方程的解、解方程的概念讓學生了解即可。

（2）解，要在學生積極參與的基礎(chǔ)上，理解何種形式的方程在求解過程中方程兩邊選擇加上（或減去）同一個數(shù)，以及何種形式的方程在求解過程中兩邊選擇乘以（或除以）同一個數(shù)。另一個重要的問題就是“適當?shù)臄?shù)”的選擇了。通常，整式方程并不需要檢驗，但為了學生從一開始就養(yǎng)成自我檢查的好習慣，可以讓學生在草稿紙上檢驗，同時也是對前面學過的求代數(shù)式的值的復習。

（3）教材給出了三道應用題，其中例4是一道有關(guān)公式應用的方程問題。列解應用題，關(guān)鍵在引導學生加深對代數(shù)式的理解基礎(chǔ)上，認真讀懂題意，弄清楚題目中的關(guān)鍵語句所包含的各種數(shù)量的意義及相互關(guān)系。恰當?shù)卦O未知數(shù)，用代數(shù)式表示數(shù)學語句，依據(jù)相等關(guān)系正確的列出方程并求解。

（4）教學過程中，應充分發(fā)揮多媒體技術(shù)的輔助教學作用，可以參考運用相關(guān)課件提高學生的學習興趣，加深對列解簡單的應用題的整個分析、解決問題過程的理解。此外，通過應用投影儀、幻燈片可以提高課堂效率，有利于對知識點的掌握。

五、列解應用題

列解應用題的一般步驟

（1）弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母（如x）表示題目中的一個未知數(shù).

（2）找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關(guān)系.

（3）根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程.

（4）解這個方程，求出未知數(shù)的值.

（5）寫出答案（包括單位名稱）.

概括地說，列解應用題，一般有“設、列、解、驗、答”五個步驟，審題可在草稿紙上進行.其中關(guān)鍵是“列”，即列出符合題意的方程.難點是找等量關(guān)系.要想抓住關(guān)鍵、突破難點，一定要開動腦筋，勤于思考、努力提高自己分析問題和解決問題的能力.

教學設計示例

（一）

教學目標

1.能解，并能用解簡單的應用題。

2.初步培養(yǎng)學生方程的思想及分析解決問題的能力。

教學重點和難點

重點：的解法和根據(jù)實際問題列出方程。

難點：正確地列出方程。

課堂教學過程設計

一、從學生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題

1.針對以往學過的一些知識，教師請學生回答下列問題：

(1)什么叫等式？等式的兩個性質(zhì)是什么？

(2)下列等式中x取什么數(shù)值時，等式能夠成立？

2.在學生回答完上述問題的基礎(chǔ)上，引出課題

在小學學習方程時，學生們已知有關(guān)方程的三個重要概念，即方程、方程的解和解方程.現(xiàn)在學習了等式之后，我們就可以更深刻、更全面地理解這些概念，并同時板書課題：.

二、講授新課

1.方程

在等式4+x=7中，我們將字母x稱為未知數(shù)，或者說是待定的數(shù).像這樣含有未知數(shù)的等式，稱為方程.并板書方程定義.

例1  (投影)判斷下列各式是否為方程，如果是，指出已知數(shù)和未知數(shù)；如果不是，說明為什么.

(1)5-2x=1；(2)y=4x-1；(3)x-2y=6；(4)2x2+5x+8.

分析：本題在解答時需注意兩點：一是已知數(shù)應包括它的符號在內(nèi)；二是未知數(shù)的系數(shù)若是1，這個省寫的1也可看作已知數(shù).

(本題的解答應由學生口述，教師利用投影片打出來完成)

2.

這一小節(jié)的前面主要是復習、歸納小學學過的 有關(guān)方程的基本知識，提出了算術(shù)解法與代數(shù)解法的說法，以便以后逐步講述代數(shù)解法的優(yōu)越性。

例2 解下列方程：
（1） （2）

分析 方程（1）的左邊需減去 ，根據(jù)等式的性質(zhì)（2），必須兩邊同時減去 ，得 ，方程的左邊需要乘以3，使 的系數(shù)化為1，根據(jù)等式的性質(zhì)（3），必須兩邊同時乘以3，得 ，方程（2）的解題思路與（1）類似。

解（1）方程兩邊都減去 ，得

兩邊都乘以3，得 。

（2）方程兩邊都加上6，得 。

方程兩邊都乘以 ，得 ，即 。

注意：（1）根據(jù)方程的解的概念，我們可以將所得結(jié)果代入原方程檢驗，如果左邊=右邊，說明結(jié)果是正確的，否則，左邊≠右邊，說明你求得的x的值，不是原方程的解，肯定計算有錯誤，這時，一定要細心檢查，或者再重解一遍.

（2）解時，不要求寫出檢驗這一步.

例3 甲隊有54人，乙隊有66人，問從甲隊調(diào)給乙隊幾人能使甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的 ？

分析此題必須弄清：一、甲、乙兩隊原來各有多少人；二、變動后甲、乙兩隊各有多少人（注意：甲隊減少的人數(shù)正是乙隊增加的人數(shù)）；三、題中的等量關(guān)系是：變動后甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的 ，即變動后甲隊人數(shù)的3倍等于乙隊人數(shù).

解  設從甲隊調(diào)給乙隊x人，

則變動后甲隊有 人，乙隊有 人，根據(jù)題意，得：

答：從甲隊調(diào)給乙隊24人。

三、課堂練習(投影)

1.判斷下列各式是不是方程，如果是，指出已知數(shù)和未知數(shù)；如果不是，說明為什么.

(1)3y-1=2y；  (2)3+4x+5x²；  (3)7×8=8×7  (4)6=0.

2.根據(jù)條件列出方程：

(l)某數(shù)的一半比某數(shù)的3倍大4；

(2)某數(shù)比它的平方小42.

3.檢驗下列各小題括號里的數(shù)是不是它前面的方程的解：

四、師生共同小結(jié)

1.請學生回答以下問題：

(1)本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？

(2)方程與代數(shù)式，方程與等式的區(qū)別是什么？

(3)如何列方程？

2.教師在學生回答完上述問題的基礎(chǔ)上，應指出：

(1)方程、等式、代數(shù)式，這三者的定義是正確區(qū)分它們的唯一標準；

(2)方程的解是一個數(shù)值(或幾個數(shù)值)，它是使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值它是根據(jù)未知數(shù)與已知數(shù)之間的相等關(guān)系確定的.而解方程是指確定方程的解的過程，是一個變形過程.

五、作業(yè) 

1.根據(jù)所給條件列出方程：

(1)某數(shù)與6的和的3倍等于21；

(2)某數(shù)的7倍比某數(shù)大5；

(3)某數(shù)與3的和的平方等于這數(shù)的15倍減去5；

(4)矩形的周長是40，長比寬多10，求矩形的長與寬；

(5)三個連續(xù)整數(shù)之和為75，求這三個數(shù).

2.檢驗下列各小題括號里的數(shù)是否是它前面的方程的解：

(3)x(x+1)＝12，(x＝3，x＝4).

（二）

一、教學目標

（一）知識教學點

1.了解；方程算術(shù)解法與代數(shù)解法的區(qū)別。

2.掌握：代數(shù)解法解。

（二）能力訓練點

1.通過代數(shù)解法解的學習使學生認識問題頭腦不僵化，培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維的能力。

2.通過代數(shù)法解進一步培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力。

（三）德育滲透點

1.培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度，用發(fā)展的眼光看問題的辯證唯物主義思想。

2.滲透化“未知”為“已知”的化歸思想。

（四）美育滲透點

通過用新的方法解，使學生初步領(lǐng)略數(shù)學中的方法美。

二、學法引導

1.教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法。注意教學中民主意識和學生的主體作用的體現(xiàn)。

2.學生學法：識記→練習反饋

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點：代數(shù)解法解。

2.難點：解方程時準確把握兩邊都加上（或減去）、乘以（或除以）同一適當?shù)臄?shù)。

3.疑點：代數(shù)解法解的依據(jù)。

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀或電腦、自制膠片。

六、師生互動活動設計

教師創(chuàng)設情境，學生解決問題。教師介紹新的方法，學生反復練習。

七、教學步驟

（一）創(chuàng)設情境，復習導入  

（出示投影1）

引例：班上有37名同學，分成人數(shù)相等的兩隊進行拔河比賽，恰好余3人當裁判員，每個隊有多少人？

師：該問題如何解決呢？請同學們考慮好后寫在練習本上.

學生活動：解答問題，一個學生板演.

師生共同訂正，對照板演學生的做法，師問：有無不同解法？

學生活動：回答問題，一個學生板演，其他學生比較兩種解法.

問；這兩種解法有什么不同呢？

學生活動：積極思索，回答問題.（一是列算式的解法，二是列方程的解法）.

師：很好.為了敘述問題方便，我們分別把這兩種解法叫做算術(shù)解法和代數(shù)解法.小學學過的應用題可用算術(shù)方法也可用代數(shù)方法解.有時算術(shù)方法簡便，有時代數(shù)方法簡便，但是隨著學習的逐步展開，遇到的問題越來越復雜，使用代數(shù)解法的優(yōu)越性將會體現(xiàn)的越來越充分，因此，在初中代數(shù)課上，將把方程的知識作為一個重要的內(nèi)容來學習.當然，在開始學習方程時，還是要從簡單的方程入手，即.引出課題.

[板書]1.5

（二）探索新知，講授新課

師：談到方程，同學們并不陌生，你能說明什么叫方程嗎？

學生活動：踴躍舉手，回答問題。

[板書] 含有未知數(shù)的等式叫方程

接問：你還知道關(guān)于方程的其他概念嗎？

學生活動：積極思考并回答。

[板書] 方程的解；解方程
追問：能再具體些嗎？即什么叫方程的解？什么叫解方程？并舉例說明.學生活動：互相討論后回答.（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫解方程，例如方程： 是方程的解，求 的過程叫解方程.）

師：很好.怎樣解方程呢？

例如 解方程

學生活動：一個學生回答，師板書，并要求學生說出根據(jù)。

解：第一步 ，（把 看作一個數(shù)，根據(jù)一個加數(shù)等于和減去另一個數(shù)）

第二步  （根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)）

師：好！這是小學學的解方程的方法。在初中代數(shù)課上，我們要從另一角度來解，還以上邊這個方程為例。

[板書]

學生活動：相互討論達成共識（合理。因把 代入方程 ，左邊=右邊，所以 是方程的解）

【教法說明】先復習小學有關(guān)方程的幾個概念和解法，再提代數(shù)解法，形成對比，使學生認識到同一問題可從不同角度去考慮，即培養(yǎng)了發(fā)散思維。正是因為認識問題的不同側(cè)面，導致學生感到疑惑，這時讓學生自己去檢驗新方法的合理性，不但可消除疑慮，而且還有助于發(fā)展學生的創(chuàng)造能力。

師：以前的方法只能解很簡單的方程，而后者則可以解較復雜的方程，因此更為重要。為了更好的理解和熟悉這種解法，我們共同做例1。

（三）嘗試反饋，鞏固練習

例1 解方程

問：你認為第一步方程兩邊應加上（或減去）什么數(shù)最合適？為什么？

學生活動：思考并回答.（師板書）

問：你認為第二步方程兩邊應乘以（或除以）什么數(shù)最合適？為什么？

學生活動：思考并回答（師板書）

解：方程兩邊都加上5，得

，

方程兩邊都乘以2，得

，

x=32

問：這個結(jié)果正確嗎？請同學們自己檢驗.

學生活動：練習本上檢驗并回答問題.（正確）

師：這種新方法解方程時，第一步目的是什么？第二步目的是什么？從而確定出該加上（或減去）怎樣的數(shù)，該乘以（或除以）怎樣的數(shù)更合適.

學生活動：回答這兩個問題.

【教法說明】雖然解方程的過程由教師板書，但整個思路是由學生形成的，使新方法在學生頭腦中越來越清晰，直到真正認識并掌握它，這樣也體現(xiàn)了學生的主體性，由“學會”型向“會學”型轉(zhuǎn)化，對培養(yǎng)學生的思維能力很有幫助.

師：上題在我們共同努力下得以解決，下面看你們自己的表現(xiàn)怎樣？

例2  解方程 。

學生活動：在練習本上做，一個學生板演.

師生共同訂正.

師：這里雖不要求同學們檢驗，但今后希望同學們養(yǎng)成自我檢查的良好習慣.

【教法說明】通過例2的教學訓練學生的判斷能力及運算能力，樹立矛盾轉(zhuǎn)化思想.

（四）變式訓練，培養(yǎng)能力

（出示投影2）

1.（口答）解下列方程

（1） ； （2） ；

（3） ； （4）

2.判斷，并說明理由

（1） 不是方程（ ）

（2） 與 的解都是 （ ）

（3）不同方程的解一定不同（ ）

3.解方程：（1） ； （2）

（3）

4.求 使 的值等于27。

學生活動：1、2題口答，3、4題在練習本上書寫，可互相討論，3、4題師巡回指導。

【教法說明】1題讓學生困難同學回答，增強自信心；2題澄清模糊認識，可充分討論，讓學生各抒已見；3題較1題稍復雜，一是讓學生體會新解法的優(yōu)越性，二是培養(yǎng)學生觀察分析解決問題的能力；4題其實也是解方程，目的是開闊學生思路，培養(yǎng)學生勇于探索、大膽求異的創(chuàng)新精神。

（五）歸納小結(jié)

（由學生歸納）

1.按照新方法解方程，一般采用下面兩點：

（1）方程兩邊都加上（或減去）同一適當?shù)臄?shù)；

（2）方程兩邊都乘以（或除以）同一適當?shù)臄?shù)。

2.為了保證運算準確，養(yǎng)成檢驗的習慣。

八、隨堂練習

1.選擇題

（1）在（1） ；（2） ；（3） ；（4） 中方程有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

（2）2是（ ）方程的解

A. B.

C. D.

2.解方程

（1） ； （2） ； （3）

3.求 ，使 與 互為倒數(shù)。

九、布置作業(yè) 

（一）必做題：課本第31頁A組1.（2）（4）、 2.（1）（3）（5）

（二）選做題：思考課本B組1、2。

十、板書設計

附：1.5 

隨堂練習答案

1.B  C. 2. 3.

作業(yè) 答案

1.(2)8; (4)6 2.(1) ;(3) ;(5)

探究活動

甲、乙二人從相距30m的兩地同向而行，甲每秒走7m，乙每秒走6.5m，如果甲先出發(fā)1秒鐘后，乙才出發(fā)，求甲出發(fā)后幾秒鐘追上乙？

解法（－）設甲出發(fā)后 秒追上乙，則甲走的路程為 m，乙比甲晚1秒鐘出發(fā)，乙少走1秒鐘，此時，乙走的路程為 m，甲追上乙表示甲比乙多走30m。根據(jù)題意列出方程是：

解得 （秒）

答：甲出發(fā)后47秒追上乙.

解法（二）設甲出發(fā)后 秒追上乙，甲先走1秒鐘，甲先走了 m，這樣甲追上己只需多走 (m).這時甲、乙二人都走了（ ）秒，甲走的路程為 m，乙走的路程為 m，乙比甲走的路程少 (m)，根據(jù)題意列出方程是：

解得 （秒）

答：甲出發(fā)后47秒追上乙.

解法（三）設已出發(fā)后 秒，甲追上乙，因為甲先走1秒，所以甲走了 ，乙走了 秒，甲走的路程比已走的路程多30m，依據(jù)此等量關(guān)系列出方程為：

解得 秒

甲走的時間為 （秒）

答：甲出發(fā)后47秒追上乙.