完全平方公式

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節教學的重點是的熟記及應用.難點是對公式特征的理解(如對公式中積的一次項系數的理解).是進行代數運算與變形的重要的知識基礎。

1.兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.即：

這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的.

這兩個公式的結構特征是：左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的2倍；公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等代數式.

2.只要符合這一公式的結構特征，就可以運用這一公式.

在運用公式時，有時需要進行適當的變形，例如 可先變形為 或 或者 ，再進行計算.

在運用公式時，防止發生 這樣錯誤.

3.運用計算時，要注意：

（1）切勿把此公式與公式 混淆，而隨意寫成 .

（2）切勿把“乘積項” 中的2丟掉.

（3）計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變為符合公式條件的形式，則應運用乘法法則進行計算.

4. 與 都叫做.為了區別，我們把前者叫做兩數和的，后者叫做兩數差的.

三、教法建議

1.在公式的運用上，與平方差公式的運用一樣，應著重讓學生掌握公式的結構特征和字母表示數的廣泛意義，教科書把公式中的字母同具體題目中的數或式子，用“ ”連結起來，逐項比較、對照，步驟寫得完整，便于學生理解如何正確地使用進行計算.

2.正確地使用公式的關鍵是確定是否符合使用公式的條件.重要的是確定兩數，然后再看是否兩數的和（或差），最后按照公式寫出兩數和（或差）的平方的結果.

3.如何使學生記牢公式呢？我們注意了以下兩點.

（1）既講“法”，又講“理”

在教學中要講法則、公式的應用，也要講公式的推導，使學生在理解公式、法則道理的基礎上進行記憶.我們引導學生借助面積圖形對做直觀說明，也是對說理的重視.在“明白道理”這個前提下的記憶，即使學生將來發生錯誤也易于糾正.

（2）講聯系、講對比、講特點

對于類似的內容學生容易混淆，比如在本節出現的(a+b)²=a²+b²的錯誤，其原因是把和“舊”知識(ab)²=a²b²及分配律弄混，排除新舊知識間相互干擾的一種作法是向學生指明新知識的特點.所以講“理”是要講聯系、講對比、講特點.

教學設計示例

一、教學目標 

1.理解的意義，準確掌握兩個公式的結構特征.

2.熟練運用公式進行計算.

3.通過推導公式訓練學生發現問題、探索規律的能力.

4.培養學生用數形結合的方法解決問題的數學思想.

5.滲透數學公式的結構美、和諧美.

二、學法引導

1.教學方法：嘗試指導法、講練結合法.

2.學生學法：本節學習了乘法公式中的完全平方，一個是兩數和的平方，另一個是兩數差的平方，兩者僅一個“符號”不同.相乘的結果是兩數的平方和，加上（或減去）兩數的積的2倍，兩者也僅差一個“符號”不同，運用計算時，要注意：

（1）切勿把此公式與公式 混淆，而隨意寫成 .

（2）切勿把“乘積項”2ab中的2丟掉.

（3）計算時，要先觀察題目是否符合公式的條件.若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算；若不能變為符合條件的形式，則應運用乘法法則進行計算.

  三、重點·難點及解決辦法

（一）重點

掌握公式的結構特征和字母表示的廣泛含義，正確運用公式進行計算.

（二）難點

綜合運用平方差公式與進行計算.

（三）解決辦法

加強對公式結構特征的深入理解，在反復練習中掌握公式的應用.

四、課時安排

一課時.

五、教具學具準備

投影儀或電腦、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.讓學生自編幾道符合平方差公式結構的計算題，目的是辨認題目的結構特征.

2.引入，讓學生用文字概括公式的內容，培養抽象的數字思維能力.

3.舉例分析如何正確使用，師生共練完成本課時重點內容.

4.適時練習并總結，從實踐到理論再回到實踐，以指導今后的解題.

七、教學步驟 

（一）明確目標

本節課重點學習及其應用.

（二）整體感知

掌握好的關鍵在于能正確識別符合公式特征的結構，同時還要注意公式中2ab中2的問題，在解題過程中應多觀察、多思考、多揣摩規律.

（三）教學過程 

1.計算導入  ；求得公式

（1）敘述平方差公式的內容并用字母表示；

（2）用簡便方法計算

 ①103×97

 ②103 × 103

（3）請同學們自編一個符合平方差公式結構的計算題，并算出結果.

學生活動：編題、解題，然后兩至三個學生說出題目和結果.

要想用好公式，關鍵在于辨認題目的結構特征，正確使用公式，這節課我們繼續學習“乘

法公式”.

引例：計算 ，

學生活動：計算 ， ，兩名學生板演，其他學生在練習本上完成，然后說出答案，得出公式.

或合并為：

教師引導學生用文字概括公式.

方法：由學生概括，教師給予肯定、否定或更正，同時板書.

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.

【教法說明】

①復習平方差公式，主要是引起回憶，鞏固公式；編題在于提高興趣.

②有了平方差公式的推導過程，學生基本建立起了一些特殊多項式乘法的認識方法，因此推導可以由計算直接得出.

2.結合圖形，理解公式

根據圖形完成下列問題：

如圖：A、B兩圖均為正方形，

（1）圖A中正方形的面積為____________，（用代數式表示）

圖Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為_______________________。

（2）圖B中，正方形的面積為____________________，

Ⅲ的面積為______________，

Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為____________，

用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積_________________。

分別得出結論：

學生活動：在教師引導下回答問題.

【教法說明】利用圖形講解，增強學生對公式的直觀理解，以便更好地掌握公式，同時也培養學生數形結合的數學思想。

3.探索新知，講授新課

（1）引例：計算

教師講解：在 中，把x看成a，把2y看成b，在 中把2x看成a，把3y看成b，則 、 ，就可用來計算，即

【教法說明】  引例的目的在于使學生進一步理解公式的結構，為運用公式打好基礎.

（2）例1  運用計算：

① ② ③

學生活動：學生獨立在練習本上嘗試解題，3個學生板演.

【教法說明】  讓學生先模仿公式解題，學生可能會出現一些問題，這也正是學生對公式理解、應用和熟練程度上存在的需要解決的問題，反饋后要緊扣公式，重點講解，達到解決問題的目的，關于例呈中（3）的計算，可對照公式直接計算，也可變形成 ，然后再進行計算，同時也可訓練學生靈活運用學過的知識的能力.

4.嘗試反饋，鞏固知識

練習一

運用計算：

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7） （8） （9）

（l0）

學生活動：學生在練習本上完成，然后同學互評，教師抽看結果，練習中存在的共性問題要集中解決.

5.變式訓練，培養能力

練習二

運用計算：

（l） （2） （3） （4）

學生活動：學生分組討論，選代表解答.

練習三

（1）有甲、乙、丙、丁四名同學，共同計算，以下是他們的計算過程，請判斷他們的計算是否正確，不正確的請指出錯在哪里.

甲的計算過程是：原式

乙的計算過程是：原式

丙的計算過程是：原式

丁的計算過程是：原式

（2）想一想， 與 相等嗎？為什么？

與 相等嗎？為什么？

學生活動：觀察、思考后，回答問題.

【教法說明】  練習二是一組數字計算題，使學生體會到公式的用途，也可以激發學生學習興趣，調動學生的學習積極性，同時也起到加深理解公式的作用.練習三第（l）題實際是課本例4，此題是與平方差公式的綜合運用，難度較大.通過給出解題步驟，讓學生進行判斷，使難度降低，學生易于理解，教師要注意引導學生分析這類題的結構特征，掌握解題方法.通過完成第（2）題使學生進一步理解 與 之間的相等關系，同時加深理解代數中“a”具有的廣泛意義.

練習四

運用乘法公式計算：

（l） （2）

（3） （4）

學生活動：采取比賽的方式把學生分成四組，每組完成一題，看哪一組完成得快而且準確，每組各派一個學生板演本組題目.

【教法說明】  這樣做的目的是訓練學生的快速反應能力及綜合運用知識的能力，同時也激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛.

（四）總結、擴展

這節課我們學習了乘法公式中的.

引導學生舉例說明公式的結構特征，公式中字母含義和運用公式時應該注意的問題.

八、布置作業 

P133  1，2.（3）（4）.

參考答案

略.