對數函數的應用 教案 —— 初中數學第一冊教案

對數函數的應用 教案
 
教學目標 ：①掌握對數函數的性質。

②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復

合函數的定義域、值 域及單調性。

③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高

解題能力。

教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

教學過程 設計：

⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

⒉開始正課

1 比較數的大小

例 1 比較下列各組數的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？

生：這兩個對數底相等。

師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小？

生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0<a<1時，函數y=logax單

調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ；當a>1時，函數y=logax單調遞

增，所以loga5.1<loga5.9。

板書：

解：Ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9

師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？

生：這三個對數底、真數都不相等。

師：那么對于這三個對數如何比大小？

生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，

log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板書：略。

師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函

數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數

函數圖象的位置關系來比大小。

2 函數的定義域, 值 域及單調性。

例 2 ⑴求函數y=的定義域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要

使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于

零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

它們共同作用的結果。）

生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。

板書：

解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5

log0.8x-1≥0 ， x≤0.8

x>0 x>0

∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

師：接下來我們一起來解這個不等式。

分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

再根據對數函數的單調性求解。

師：請你寫一下這道題的解題過程。

生：<板書>

解： x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1

(3x+3)>0 , x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3

不等式的解為：1<x<3

例 3 求下列函數的值域和單調區間。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。

下面請同學們來解⑴。

生：此函數可看作是由y=log0.5u, u=x- x2復合而成。

板書：

解：⑴∵u=x- x2>0, ∴0<x<1

u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

∴y=log0.5u≥log0.50.25=2

∴y≥2

x x(0,0.5] x[0.5,1)

u=x- x2

 y=log0.5u

y=log0.5(x- x2)

函數y=log0.5(x- x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞 增區間[0.5,1)

注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則

函數都不存在，性質就無從談起。

師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什

么區別？

生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。

師：那么⑵如何來解？

生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。

板書：略。

⒊小結

這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能

通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

⒋作業 

⑴解不等式

①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)

⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。

⑶已知函數y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

①求它的定義域；②討論它的奇偶性; ③討論它的單調性。

⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的

單調性。

5.課堂教學設計說明

這節課是安排為習題課，主要利用對數函數的性質解決一些問題，整個一堂課分兩個部分：一 .比較數的大小,想通過這一部分的練習，

培養同學們構造函數的思想和分類討論、數形結合的思想。二.函數的定義域, 值 域及單調性，想通過這一部分的練習，能使同學們重視求函數的定義域。因為學生在求函數的值域和單調區間時，往往不考慮函數的定義域，并且這種錯誤很頑固，不易糾正。因此，力求學生做到想法正確，步驟清晰。為了調動學生的積極性，突出學生是課堂的主體，便把例題分了層次，由易到難，力求做到每題都能由學生獨立完成。但是，每一道題的解題過程，老師都應該給以板書，這樣既讓學生有了獲取新知識的快樂，又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后，由教師簡明扼要地小結，以使好學生掌握地更完善，較差的學生也能夠跟上。

對數函數的應用 教案
 
教學目標 ：①掌握對數函數的性質。

②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復

合函數的定義域、值 域及單調性。

③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高

解題能力。

教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

教學過程 設計：

⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

⒉開始正課

1 比較數的大小

例 1 比較下列各組數的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？

生：這兩個對數底相等。

師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小？

生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0<a<1時，函數y=logax單

調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ；當a>1時，函數y=logax單調遞

增，所以loga5.1<loga5.9。

板書：

解：Ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9

師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？

生：這三個對數底、真數都不相等。

師：那么對于這三個對數如何比大小？

生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，

log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板書：略。

師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函

數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數

函數圖象的位置關系來比大小。

2 函數的定義域, 值 域及單調性。

例 2 ⑴求函數y=的定義域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要

使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于

零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

它們共同作用的結果。）

生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。

板書：

解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5

log0.8x-1≥0 ， x≤0.8

x>0 x>0

∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

師：接下來我們一起來解這個不等式。

分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

再根據對數函數的單調性求解。

師：請你寫一下這道題的解題過程。

生：<板書>

解： x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1

(3x+3)>0 , x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3

不等式的解為：1<x<3

例 3 求下列函數的值域和單調區間。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。

下面請同學們來解⑴。

生：此函數可看作是由y=log0.5u, u=x- x2復合而成。

板書：

解：⑴∵u=x- x2>0, ∴0<x<1

u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

∴y=log0.5u≥log0.50.25=2

∴y≥2

x x(0,0.5] x[0.5,1)

u=x- x2

 y=log0.5u

y=log0.5(x- x2)

函數y=log0.5(x- x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞 增區間[0.5,1)

注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則

函數都不存在，性質就無從談起。

師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什

么區別？

生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。

師：那么⑵如何來解？

生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。

板書：略。

⒊小結

這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能

通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

⒋作業 

⑴解不等式

①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)

⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。

⑶已知函數y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

①求它的定義域；②討論它的奇偶性; ③討論它的單調性。

⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的

單調性。

5.課堂教學設計說明

這節課是安排為習題課，主要利用對數函數的性質解決一些問題，整個一堂課分兩個部分：一 .比較數的大小,想通過這一部分的練習，

培養同學們構造函數的思想和分類討論、數形結合的思想。二.函數的定義域, 值 域及單調性，想通過這一部分的練習，能使同學們重視求函數的定義域。因為學生在求函數的值域和單調區間時，往往不考慮函數的定義域，并且這種錯誤很頑固，不易糾正。因此，力求學生做到想法正確，步驟清晰。為了調動學生的積極性，突出學生是課堂的主體，便把例題分了層次，由易到難，力求做到每題都能由學生獨立完成。但是，每一道題的解題過程，老師都應該給以板書，這樣既讓學生有了獲取新知識的快樂，又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后，由教師簡明扼要地小結，以使好學生掌握地更完善，較差的學生也能夠跟上。