正多邊形作圖教案(一)
等分圓周的方法有兩種： 1.使用量角器法 n等份，從而把圓周分成n等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)，即得到圓內(nèi)接正n邊形. 由于在度量正n邊形的中心角時(shí)易有誤差，所以使用量角器法是近似等分圓周的方法，在精確度要求不高的情況下可以使用量角器法. 2.尺規(guī)作圖法 由于受尺規(guī)作圖的限制，不能用尺規(guī)任意等分圓周，只能對(duì)于一些特殊的正n邊形采用尺規(guī)作圖法.尺規(guī)作圖法比較準(zhǔn)確. (1)正四、八邊形的作圖； 正四邊形的作法： 如圖1，①作直徑AC⊥BD； ②依次連結(jié)AB、BC、CD、DA. 則四邊形的ABCD即為所求作的正四邊形. 證明：∵直徑AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， ∴A、B、C、D是⊙O的四等分點(diǎn)， ∴四邊形ABCD是正四邊形. 正八邊形的作法： 如圖2，①作直徑AC⊥BD； ②作∠AOB、∠BOC的平分線(xiàn)交⊙O于E、F點(diǎn). ③延長(zhǎng)EO、FO交⊙O于G、H點(diǎn)； ④依次連結(jié)AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA. 則八邊形AEBFCGDH即為所求作的正八邊形. 證明：∵直徑AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90° ∵ OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC， ∴∠1=∠2=∠3=∠4. ∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8， ∴八邊形AEBFCGDH為正八邊形. (2)正六、三、十二邊形的作圖 正六邊形的作法： 如圖3，①作直徑AD； ②分別為A、D為圓心，以⊙O半徑OA為半徑畫(huà)弧交⊙O于B、F、C、E； ③依次連結(jié)AB、BC、CD、DE、EF、FA. 則六邊形ABCDEF即為所求作的正六邊形. 證明：連結(jié)OB、OC、OE、OF. ∵AB=OA=OB， ∴∠1=60° 同理 ∠2=∠3=∠4=60°. ∵∠AOD=180°， ∴∠5=∠6=60°. ∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2. ∴六邊形ABCDEF是正六邊形. 正三角形的作法： 如圖4，①作直徑AD； ②以D為圓心，以⊙O半徑為半徑畫(huà)弧交⊙O于B、C點(diǎn)； ③依次連結(jié)AB、BC、CA. 則△ABC即為所求作的正三角形. 證明：連結(jié)OB、OC、BD、CD. ∵BD=DO=OB， ∴∠BOD=60°. 同理 ∠DOC=60° ∴∠BOC=120°. ∵∠AOD=180°， ∴∠AOB=∠AOC=120°. ∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA， 則△ABC為正三角形. 說(shuō)明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六邊形，但是這樣產(chǎn)生的誤差較大. 正十二邊形的作法： 如圖5，①作直徑AG⊥DQ； ②分別以A、D、G、Q為圓心，以⊙O半徑為半徑畫(huà)弧分別交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S點(diǎn)； ③依次連結(jié)AB、BC、CD、DE、…、SA. 則十二邊形ABCD……S即為所求作的正十二邊形. 證明：連結(jié)AC、OB、OC、OE、…、OS. ∵AC=OA=OC， ∴∠AOC=60°. ∵直徑AG⊥DQ， ∴∠AOD=90°， ∴∠COD=30°. 同理 ∠AOB=30°， ∴∠BOC=30°. 同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA， ∴十二邊形ABCDE…S為正十二邊形. 說(shuō)明：這里介紹的正十二邊形的作法，比起利用二等分正六邊形的各中心角的方法作正十二邊形較為精確. 當(dāng)然，如果把正八邊形、正十二邊形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六邊形、正二十四邊形，但這樣作誤差可能大些. 注意：在用尺規(guī)作正多邊形時(shí)，為了減少累積誤差，應(yīng)盡量避免從圓上某一點(diǎn)開(kāi)始連續(xù)截取等弧的方法. 小結(jié)：這節(jié)課我們著重研究了用尺規(guī)作特殊的正多邊形的方法.通過(guò)作圖，大家進(jìn)一步體會(huì)到作正n邊形的實(shí)質(zhì)就是將圓n等分的問(wèn)題.在生產(chǎn)實(shí)踐中，常常會(huì)遇到等分圓周的問(wèn)題，所以希望大家一定要掌握好這些基本的正多邊形的作法. 2.(1)畫(huà)一個(gè)半徑為2cm的正九邊形； (2)畫(huà)一個(gè)邊心距為2cm的正六邊形. 3.尺規(guī)作圖： (1)作半徑為2cm的⊙O內(nèi)接正八邊形； (2)作半徑為2cm的⊙O內(nèi)接正十二邊形. 4.已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A， (1)作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH； 作業(yè) 答案：(略).