兩圓的公切線（精選9篇）
兩圓的公切線 篇1
第一課時 （一）
教學目標：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材P143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，切點分別是A、B.求：公切線的長AB.
分析：首先想到切線性質，故連結O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
過 O1作O1C⊥O2B，垂足為C，則四邊形O1ABC為矩形，
于是有
O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5
AB=O1C= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直線AB為，A、B為切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長.
分析：因為線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過P作CD如圖，因為AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP.因為∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解.
解：過點P作CD
∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線，A、B為切點
∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP
又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°
∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°
在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)
2、外公切線是指
(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離
(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(D)
3、教材P141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：P151習題10，11.
第二課時 （二）
教學目標：
（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）
（二）應用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一條內公切線，切點分別是A，B.
求：公切線的長AB。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
過 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延長線于C，
則O1C=AB，O1A=BC.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=10，O2C=O2B+ O1A=6
∴O1C=(cm).
∴AB=8（cm）
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求V形角α的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
， ；
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
（三）鞏固訓練
教材P142練習第1題，教材P145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
（四）小結
（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
（五）作業
教材P153中12、13、14.
第三課時 （三）
教學目標：
（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念.
（2）切線的性質，弦切角等有關概念.
（二）公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B，C為切點.若連結AB、AC會構成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學生進行）
猜想：（學生猜想）∠BAC=90°
證明：過點A作⊙O1和⊙O2的內切線交BC于點O.
∵OA、OB是⊙O1的切線，
∴OA=OB.
同理OA=OC.
∴ OA=OB=OC.
∴∠BAC=90°.
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙O1和⊙O2內切于P，大圓的弦AB交小圓于C，D.
求證：∠APC＝∠BPD.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線O1O2，或作外公切線.
證明：過P點作MN.
∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，
∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，
即∠APC＝∠BPD.
反思：（1）作了兩圓公切線MN后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視MN的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙O1和⊙O2內切于P，大圓⊙O1的弦AB與小圓⊙O2相切于C點.
是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.
答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
（三）練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于P，大圓的弦AB切小圓于C，大圓的弦PD過C點.
求證：PA·PB=PD·PC.
證明：過點P作EF
∵ AB是小圓的切線，C為切點
∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A
又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB
∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB
∴PA·PB=PD·PC
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
（三）總結
學習了，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
（四）作業 教材P151習題中15，B組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于A、B，直線CD與兩圓分別相交于C、E、F、D.
(1)用量角器量出∠EAF與∠CBD的大小，根據量得結果，請你猜想∠EAF與∠CBD的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線CD的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點A”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.
提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°.證明略（如圖作輔助線）.
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸納得出猜想，進而證明猜想成立.這也是數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若CD移動到與兩圓相切于點C、D，那么結論又將變為∠CAD＝90°.
兩圓的公切線 篇2
教學目標：1、使學生學會兩圓內公切線長的求法.2.使學生會求出公切線與連心線的夾角或公切線的夾角.2、使學生在學會求兩圓內公切線長的過程中，探索規律，培養學生的總結、歸納能力.3、培養學生會根據圖形分析問題，培養學生的數形結合能力.教學重點： 使學生進一步掌握兩圓公切線等有關概念，會求兩圓內公切線長及切線夾角.教學難點：兩圓內公切線和內公切線長容易搞混.教學過程：一、新課引入：上一節我們學會了求兩圓的外公切線長，這一節我們將學習兩圓內公切線長的求法及兩圓公切線夾角的求法.實際上，我們首先要清楚，什么樣的兩圓的位置關系存在兩圓內公切線？有幾條？什么樣的兩圓位置關系有內公切線長？請同學們打開練習本，動手畫一畫，結合圖形，考慮上面的問題.學生動手畫圖，教師巡視，當所有學生都畫完圖后，教師打開計算機或幻燈作演示，演示過程由學生回答上述三個問題，并認定只有兩圓外離時，存在內公切線長.二、新課講解：有了上一節求兩圓外公切線長的基礎，學生不難想到求兩圓的內公切線長也要在一個直角三角形中完成，只要稍加提示，學生便會作出直角三角形，同時教師要提醒學生注意兩種公切線長的求法中，三角形的邊有所不同.例2 如圖7-106，p.142已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，ab是⊙o1、⊙o2的內公切線，切點分別為a、b.
求：公切線的長ab.分析：仿照上節的輔助線方法作輔助線，我們會發現，不論從o1或o2向另一條半徑作垂線，垂足都落在半徑的延長線上，因此o2c是兩圓半徑之和.例題解法參照教材p.142例2.結論：由于圓是軸對稱圖形，1.兩圓的兩條外公切線長相等，兩條內公切線長相等.2.如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在連心線上.
練習一，如圖7-107，已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為1.5cm和2.5cm，o1o2=6cm.求內公切線的長.此題分析類同于例題.解：連結o2a、o1b，過點o2作o2c⊥o1b交o1b的延長線于c.在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，結論：在由公切線長、圓心距、兩圓半徑的和或差構成的rt△中，已知任意兩量，都可以求出第三量來，同時，我們也可以求出所需角來.例3 p.143要做一個如圖7-108.那樣的v形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為20mm和80mm，求v形角α的度數.分析：首先指導學生將實際問題轉化為兩圓外公切線問題，v形角α實際上就是求兩圓公切線的夾角.由矩形、外公切線的基本圖形知，矩形abo2c的邊o2c∥ab，則rt△o1co2中的銳角∠co2o1=∠
解：設兩圓管的圓心分別為o1、o2，它們與v形架切于點a、b，ab與o1o2交于點p，連結o1a，o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c.∴∠co2o1=25°23′.∴∠α=50°46′
練習二，p.145中1.如圖7-109，⊙a、⊙b外切于點c，它們的半徑分別為5cm，2cm，直線l與⊙a、⊙b都相切.求直線ab與l所成的角.分析：這是兩圓外公切線與兩圓連心線夾角問題，屬于兩圓外公切線的基本圖形，只要在rt△adb中求出∠abd的度數即可.解：設l與⊙a、⊙b分別切于點m、n，連結am、bn，過點b作bd⊥am，垂足為d.∴∠abd=25°23′.∴∠1=25°23′.答：直線ab與l所成的角為25°23′.三、課堂小結：為培養學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材p.142—p.145，從中總結出本課主要內容：1.求兩圓的內公切線，仍然歸結為解直角三角形問題，注意基本圖形中的直角三角形，圓心距仍然為斜邊，內公切線長、兩半徑之和作直角邊，三個量中已知任何兩個量，都可以求出第三個量來.2.如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上.3.求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.要根據基本圖形，歸結為求rt△中的銳角.從而根據平行線的同位角相等，進而求出兩公切線的夾角.四、布置作業教材p.153中12、13、14.
兩圓的公切線 篇3
教學目標：1、使學生理解兩圓公切線等有關概念.2、使學生學會兩圓外公切線的求法.3、通過對兩圓公切線的直觀演示的觀察，培養學生能從直觀演示中歸納出幾何概念的能力；4、在指導學生學習求兩圓外公切線長的過程中，培養學生的總結、歸納能力.教學重點： 使學生理解兩圓公切線等有關概念，會求兩圓的外公切線長.教學難點：兩圓公切線和公切線長學生理解得不透，容易搞混.教學過程：一、新課引入：運轉著的機器上主動輪和從動輪和傳動帶之間，很明顯地給我們留下了一條直線和兩個圓同時相切的形象，現在我們來研究和兩圓都相切的直線.二、新課講解：在直線和圓的位置關系中，切線非常重要，那么在兩圓的位置關系中，尤其是與兩個圓都相切的切線，應該具有什么特殊的性質呢？請同學打開練習本，畫出所有可能的一條直線同時與兩個圓相切的情形.學生動手畫，教師巡視，當所有學生把認為可能的情形畫完之后，教師打開計算機或幻燈作演示，演示過程中提醒學生觀察，每一種圓與圓的位置關系是否都能作出符合條件的直線？兩個圓與所作出的直線的位置如何？不同的位置能作出的直線的條數，哪一種圓與圓的位置關系中的符合條件的直線上存在線段？線段的端點是什么？最終教師指導學生定義兩圓公切線及有關概念：1.定義：和兩個圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.2.分類：外公切線和內公切線.3.定義內外公切線.兩個圓在公切線同旁時，公切線叫外公切線；兩個圓在公切線兩旁時，公切線叫內公切線.4.公切線長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線長.5.圓與圓各種位置的公切線及條數.
兩圓公切線的系列概念，主要是通過演示觀察歸納獲得.務必使每個學生都清楚，并不是每一種圓與圓的位置關系都存在公切線，兩個圓若存在公切線，公切線的條數也因不同的位置關系而不相同.而兩圓即使存在公切線，但不一定有切線長，教師可指導學生觀察每一種位置關系的公切線，最終得到結論：只有兩圓外離、外切、相交可求外公切線長，而兩圓外離時又可求內公切線長.特別要使學生明白公切線和公切線長是兩個不同的概念，因而意義也就不同，公切線是一條和兩圓同時相切的直線，而公切線長是公切線上兩個切點間的線段長，故可求之.怎樣求兩圓的外公切線長？可指導學生回顧切線長求法，是在一個由圓外一點到圓心的線段、半徑、切線長為邊的直角三角形中完成的.同樣地，我們也考慮把公切線長的求出放置到一個直角三角形中去.這時可指導學生首先運用切線的性質，連結過切點的半徑o1a、o2b于是得到直角梯形o1abo2，只要過o1作o1c⊥o2b，便得到矩形o1abc，于是ab=o1c，o1c可在rt△o1co2中求得.練習一，當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成 [ ]a.直角三角形 b.等腰三角形.c.等邊三角形 d.以上答案都不對.此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)練習二，外公切線是指(a)和兩圓都相切的直線.(b)兩切點間的距離(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線(d)兩圓在公切線同旁時的公切線直接運用外公切線的定義判斷.答案：(d)例1 已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2、的外公切線，切點分別是a、b.求：公切線的長ab.例題解法參考教材p.140例1.練習三 已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為15cm和5cm，它們外切于點t，外公切線ab與⊙o1、⊙o2分別切于點a、b.求外公切線長ab.
此題中因為兩圓外切，所以圓心距⊙o1o2等于兩半徑之和.解：連結o1a、o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c.四邊形aco2b是矩形在rt△o1co2中：o1o2=20，o1c=10，三、課堂小結：為培養學生閱讀教材的習慣，讓學生看教材p.140至p.141，從中總結出本課學習的主要內容：1.兩圓公切線等有關內容，注意概念之間質的區別.2.兩圓外公切線長的求法.如圖7-105求兩圓的外公切線長ab.就是要把ab轉化到rt△o1co2中.
rt△o1co2的三邊分別由圓心距、兩半徑之差、外公切線長組成.這三個量中已知任意兩個量，都可以求出第三個量.同時在rt△o1co2中，我們完全可以依據已知條件，用直角三角形的性質或三角函數求出銳角∠o2o1c來，從而得到兩圓外公切線的夾角的度數：2∠o2o1c.3.兩圓在外離、外切、相交時可求外公切線長.已知條件中的圓心距，兩圓外離、相交時一定給出，而兩圓外切時則不必給出，務必請同學注意.四、布置作業1.教材p.150中10.2.教材p.152中11
兩圓的公切線 篇4
教學目標：1、使學生理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用；2.掌握輔助線規律，并能熟練應用.2、通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.教學重點： 使學生學會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能熟練應用于幾何題證明中.教學難點：在證明中學生引出輔助線后，新舊知識結合得不好，難以打開證題思路.教學過程：一、新課引入：我們已經學習了圓的切線在幾何證明中的重要作用，這節課，我們來學習兩圓公切線在證明中的作用.實際上兩圓的公切線，對兩圓起著一個橋梁的作用，首先，對于每一個圓，公切線都會產生切線的性質.另外公切線和過切點的兩圓的弦，會產生弦切角定理運用的前提，從而把兩個圓中的圓周角建立相等關系，我們有下面的例子.二、新課講解：例4 教材p.144如圖7-110，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b、c為切點.
求證：ab⊥ac.分析：題目中已知⊙o1和⊙2外切于點a.這是一個非常特殊的點，過點a我們引兩圓的內公切線，產生了三種可能：①運用弦切角定理.②切線的性質定理.③切線長定理.在一道關于兩圓相切的問題中，作出公切線后，還要針對已知條件，選擇之，本例中已知兩圓的外公切線bc，所以過點a的內公切線與之相交，必然產生切線長定理運用的前提，使問題得證.證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內公切線交bc于點o.練習一，p.145中2如圖7-111，⊙o1和⊙o2相切于點t，直線ab、cd經過點t，交⊙o1于點a、c，交⊙o2于點b、d，求證：ac∥bd.
分析：欲證ac∥bd，須證∠a=∠b，圖(1)中∠a和∠b是內錯角，圖(2)中∠a和∠b是同位角.而∠a和∠b從圖形中的位置看是兩個圓中的圓周角，必須存在第三個角，使∠a和∠b都與之相等，從而∠a和∠b相等.證明：過點t作兩圓的內公切線te.練習二，p.153中14 已知：⊙o和⊙o′外切于點a，經過點a作直線bc和de，bc交⊙o于點b，交⊙o′于點c，de交⊙o于點d，交⊙o′于e，∠bad=40°，∠abd=70°，求∠aec的度數.
分析：已知⊙o中的圓周角求⊙o′中的圓周角，而兩圓外切，作內公切線即可.解：過點a作⊙o和⊙o′的內公切線af.練習三，p.153中15.經過相內切的兩圓的切點a作大圓的弦ad、ae，設ad、ae分別和小圓相交于b、c.求證：p.153中ab∶ac=ad∶ae.
分析：證比例線段，一是三角形相似，二是平行線.由題設兩圓相切，可作出切線，證平行線所成比例線段.證明：連結bc、de.過點a作兩圓的公切線af.三、課堂小結：學習了兩圓的公切線，應該掌握以下幾個方面；(讓學生自己總結，并全班交流).1.由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.2.公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.3.常用的輔助線：(1)兩圓在各種情況下常考慮添連心線；(2)兩圓外切時，常添內公切線；(3)兩圓內切時，常添外公切線；(4)計算公切線長時，常平移公切線，使它過其中一個圓的圓心.四、布置作業：1.教材p.154中b組2.
兩圓的公切線 篇5
第一課時 （一）
教學目標 ：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點 ：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材p143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b.求：公切線的長ab.
分析：首先想到切線性質，故連結o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長.
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過p作cd如圖，因為ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解.
解：過點p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(d)
3、教材p141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：p151習題10，11.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點 ：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）
（二）應用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內公切線，切點分別是a，b.
求：公切線的長ab。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c= (cm).
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
， ；
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
（三）鞏固訓練
教材p142練習第1題，教材p145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
（四）小結
（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
（五）作業
教材p153中12、13、14.
第三課時 （三）
教學目標 ：
（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點 ：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念.
（2）切線的性質，弦切角等有關概念.
（二）公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點.若連結ab、ac會構成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學生進行）
猜想：（學生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內切線交bc于點o.
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d.
求證：∠apc＝∠bpd.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線.
證明：過p點作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視mn的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
（三）練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點.
求證：pa·pb=pd·pc.
證明：過點p作ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
（三）總結
學習了，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
（四）作業 教材p151習題中15，b組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據量得結果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線cd的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.證明略（如圖作輔助線）.
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸傻貿霾孿耄っ韃孿氤閃ⅲ庖彩數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結論又將變為∠cad＝90°.
兩圓的公切線 篇6
第一課時 （一）
教學目標 ：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點 ：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材p143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b.求：公切線的長ab.
分析：首先想到切線性質，故連結o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長.
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過p作cd如圖，因為ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解.
解：過點p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(d)
3、教材p141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：p151習題10，11.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點 ：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）
（二）應用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內公切線，切點分別是a，b.
求：公切線的長ab。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c= (cm).
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
， ；
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
（三）鞏固訓練
教材p142練習第1題，教材p145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
（四）小結
（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
（五）作業
教材p153中12、13、14.
第三課時 （三）
教學目標 ：
（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點 ：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念.
（2）切線的性質，弦切角等有關概念.
（二）公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點.若連結ab、ac會構成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學生進行）
猜想：（學生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內切線交bc于點o.
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d.
求證：∠apc＝∠bpd.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線.
證明：過p點作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視mn的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
（三）練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點.
求證：pa·pb=pd·pc.
證明：過點p作ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
（三）總結
學習了，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
（四）作業 教材p151習題中15，b組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據量得結果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線cd的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.證明略（如圖作輔助線）.
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸傻貿霾孿耄っ韃孿氤閃ⅲ庖彩數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結論又將變為∠cad＝90°.
兩圓的公切線 篇7
第一課時 （一）
教學目標：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材P143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，切點分別是A、B.求：公切線的長AB.
分析：首先想到切線性質，故連結O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB.
過 O1作O1C⊥O2B，垂足為C，則四邊形O1ABC為矩形，
于是有
O1C⊥C O2，O1C=AB，O1A=CB.
在Rt△O2CO1和.
O1O2=13，O2C=O2B- O1A=5
AB=O1C= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直線AB為，A、B為切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長.
分析：因為線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過P作CD如圖，因為AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP.因為∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解.
解：過點P作CD
∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線，A、B為切點
∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP
又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°
∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°
在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)
2、外公切線是指
(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離
(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(D)
3、教材P141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：P151習題10，11.
第 1 2 3 4 頁
兩圓的公切線 篇8
第一課時 （一）
教學目標 ：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點 ：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材p143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b.求：公切線的長ab.
分析：首先想到切線性質，故連結o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長.
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過p作cd如圖，因為ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解.
解：過點p作cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(d)
3、教材p141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：p151習題10，11.
第二課時 （二）
教學目標 ：
（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點 ：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）
（二）應用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內公切線，切點分別是a，b.
求：公切線的長ab。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm).
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
， ；
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
（三）鞏固訓練
教材p142練習第1題，教材p145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
（四）小結
（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
（五）作業
教材p153中12、13、14.
第三課時 （三）
教學目標 ：
（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點 ：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）概念.
（2）切線的性質，弦切角等有關概念.
（二）公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點.若連結ab、ac會構成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學生進行）
猜想：（學生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內切線交bc于點o.
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d.
求證：∠apc＝∠bpd.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線.
證明：過p點作mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視mn的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
（三）練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點.
求證：pa·pb=pd·pc.
證明：過點p作ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
（三）總結
學習了，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
（四）作業 教材p151習題中15，b組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據量得結果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線cd的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.證明略（如圖作輔助線）.
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸傻貿霾孿耄っ韃孿氤閃ⅲ庖彩數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結論又將變為∠cad＝90°.
兩圓的公切線 篇9
第一課時 兩圓的公切線（一）
教學目標 ：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.
教學難點 ：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
（二）兩圓的公切線概念
1、概念：
教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材p143練習第2題表.
（四）應用、反思、總結
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b.求：公切線的長ab.
分析：首先想到切線性質，故連結o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb.
在rt△o2co1和.
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm).
反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.
例2*、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為兩圓的公切線，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長.
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過p作兩圓的公切線cd如圖，因為ab是兩圓的公切線，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap.因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解.
解：過點p作兩圓的公切線cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關系.
（五）鞏固練習
1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對.
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷.答案：(d)
3、教材p141練習（略）
（六）小結（組織學生進行）
知識：兩圓的公切線、外公切線、內公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉化”思想.
（七）作業 ：p151習題10，11.
第二課時 兩圓的公切線（二）
教學目標 ：
（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.
教學重點：
兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.
教學難點 ：
兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）兩圓的公切線概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.
（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）
（二）應用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內公切線，切點分別是a，b.
求：公切線的長ab。
組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.
解：連結o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab.
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc.
在rt△o2co1和.
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm).
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數.
解：(略)
反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.
組織學生進行，教師引導.
歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.
， ；
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.
（三）鞏固訓練
教材p142練習第1題，教材p145練習第1題.
學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.
（四）小結
（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.
（五）作業
教材p153中12、13、14.
第三課時 兩圓的公切線（三）
教學目標 ：
（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.
教學重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.
教學難點 ：
綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.
教學活動設計
（一）復習基礎知識
（1）兩圓的公切線概念.
（2）切線的性質，弦切角等有關概念.
（二）公切線在解題中的應用
例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點.若連結ab、ac會構成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學生進行）
猜想：（學生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內切線交bc于點o.
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob.
同理oa=oc.
∴ oa=ob=oc.
∴∠bac=90°.
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法.
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d.
求證：∠apc＝∠bpd.
分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線.
證明：過p點作兩圓的公切線mn.
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd.
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視mn的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.
拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點.
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.
（三）練習
練習1、教材145練習第2題.
練習2、如圖，已知兩圓內切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點.
求證：pa·pb=pd·pc.
證明：過點p作兩圓的公切線ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.
（三）總結
學習了兩圓的公切線，應該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.
2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形.
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.
（四）作業 教材p151習題中15，b組2.
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d.
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據量得結果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.
(2)當直線cd的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°.證明略（如圖作輔助線）.
說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸傻貿霾孿耄っ韃孿氤閃ⅲ庖彩數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結論又將變為∠cad＝90°.