數學教案－解直角三角形

教學建議

1.知識結構：

本小節主要學習解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五個元素之間的關系以及直角三角形的解法.

2.重點和難點分析：

教學重點和難點：直角三角形的解法.

本節的重點和難點是直角三角形的解法.為了使學生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三邊之間的關系，兩銳角之間的關系，邊角之間的關系.正確選用這些關系，是正確、迅速地解直角三角形的關鍵.

3. 深刻認識銳角三角函數的定義，理解三角函數的表達式向方程的轉化.

銳角三角函數的定義：

實際上分別給了三個量的關系：a、b、c是邊的長、和是由用不同方式來決定的三角函數值，它們都是實數，但它與代數式的不同點在于三角函數的值是有一個銳角的數值參與其中.

當這三個實數中有兩個是已知數時，它就轉化為一個一元方程，解這個方程，就求出了一個直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長.

畫出圖形，可知邊AC，BC和三個元素的關系是正切函數（或余切函數）的定義給出的，所以有等式

，

由于，它實際上已經轉化了以BC為未知數的代數方程，解這個方程，得

.

即得BC的長為.

又如，已知直角三角形斜邊的長為35.42cm，一條直角邊的長29.17cm，求另一條邊所對的銳角的大小.

畫出圖形，可設中，，于是，求的大小時，涉及的三個元素的關系是

也就是

這時，就把以為未知數的代數方程轉化為了以為未知數的方程，經查三角函數表，得

.

由此看來，表達三角函數的定義的4個等式，可以轉化為求邊長的方程，也可以轉化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具.

4. 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：

5. 注意非直角三角形問題向直角三角形問題的轉化

由上述（3）可以看到，只要已知條件適當，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不僅使直角三角形的計算問題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問題的解決鋪平了道路.不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問題轉化為直角三角形問題，就可以通過解直角三角形而獲得解決.請看下例.

例如，在銳角三角形ABC中，，求這個三角形的未知的邊和未知的角（如圖）

這是一個銳角三角形的解法的問題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好.），問題就轉化為兩個解直角三角形的問題.

在Rt中，有兩個獨立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時不具備求解的條件，但高AD可由解時求出，那時，它也將轉化為可解的直角三角形，問題就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴ 

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉化的途徑和方法是十分重要的，如

（1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉化為兩個直角三角形.

（2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉化為含直角三角形的圖形.

（3）連結對角線，可以把矩形、菱形和正方形轉化為含直角三角形的圖形.

（4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長的一半，銳角.

6. 要善于把某些實際問題轉化為解直角三角形問題.

很多實際問題都可以歸結為圖形的計算問題，而圖形計算問題又可以歸結為解直角三角形問題.

我們知道，機器上用的螺絲釘問題可以看作計算問題，而圓柱的側面可以看作是長方形圍成的（如圖）.螺紋是以一定的角度旋轉上升，使得螺絲旋轉時向前推進，問直徑是6mm的螺絲釘，若每轉一圈向前推進1.25mm，螺紋的初始角應是多少度多少分？

據題意，螺紋轉一周時，把側面展開可以看作一個直角三角形，直角邊AC的長為

，

另一條直角邊為螺釘推進的距離，所以

，

設螺紋初始角為，則在Rt中，有

∴.

即，螺紋的初始角約為 .

這個例子說明，生產和生活中有很多實際問題都可以抽象為一個解直角三角形問題，我們應當注意培養這種把數學知識應用于實際生活的意識和能力.

一、教學目標 

1.使學生掌握直角三角形的邊角關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形；

2.通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力；

3.通過本節的學習，向學生滲透數形結合的數學思想，培養他們良好的學習習慣.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1.重點：直角三角形的解法。

2.難點：三角函數在解直角三角形中的靈活運用。

3.疑點：學生可能不理解在已知的兩個元素中，為什么至少有一個是邊。

4.解決辦法：設置疑問，引導學生主動發現方法與途徑，解決重難點，以相似三角形知識為背景解決疑點。

三、教學步驟 

（一）明確目標

1.在三角形中共有幾個元素？

2.如圖直角三角形ABC中，這五個元素間有哪些等量關系呢？

（1）邊角之間關系

（2）三邊之間關系

（勾股定理）

（3）銳角之間關系  。

以上三點正是解直角三角形的依據，通過復習，使學生便于應用。

（二）整體感知

教材在繼銳角三角函數后安排解直角三角形，目的是運用銳用三角函數知識，對其加以復習鞏固。同時，本課又為以后的應用舉例打下基礎。因此在把實際問題轉化為數學問題之后，就是運用本課——解直角三角形的知識來解決的。綜上所述，解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課。

（三）教學過程 

1.我們已掌握Rt的邊角關系、三邊關系、角角關系，利用這些關系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余的元素。這樣的導語 既可以使學生大概了解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢，激發了學生的學習熱情。

2.教師在學生思考后，繼續引導“為什么兩個已知元素中至少有一條邊？”讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師請學生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的兩個已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形）。

3.例題

【例1】  在中，為直角，所對的邊分別為，且，解這個三角形。

解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有示范作用。因此，此題在處理時，首先，應讓學生獨立完成，培養其分析問題、解決問題能力，同時滲透數形結合的思想。其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演。

解：（1），

（2），

∴

（3）

∴

完成之后引導學生小結“已知一邊一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后選取恰當的函數關系式求另兩邊。計算時，利用所求的量如不比原始數據簡便的話，最好用題中原始數據計算，這樣誤差小些，也比較可靠，防止第一步錯導致一錯到底。

【例2】  在Rt中，，解這個三角形。

在學生獨立完成之后，選出最好方法，教師板書。

解：（1），

查表得；

（2）

（3），

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理來計算，這時要查平方表和平方根表，這樣做有時會比上面用含四位有效數字的數乘（或除）以另一含四位有效數字的數要方便一些。但先后要查兩次表，并作一次加法（或減法）或者使用計算器求平方、平方根及三角正數值等。

4.鞏固練習

解直角三角形是解實際應用題的基礎，因此必須使學生熟練掌握。為此，教材配備了練習P.23中1、2練習1針對各種條件，使學生熟練解直角三角形；練習2代入數據，培養學生運算能力。

[參考答案]

1.（1）；

（2）由求出或；

（3），

或；

（4）或。

2.（1）；

（2）。

說明：解直角三角形計算上比較繁瑣，條件好的學校允許用計算器。但無論是否使用計算器，都必須寫出解直角三角形的整個過程。要求學生認真對待這些題目，不要馬馬虎虎，努力防止出錯，培養其良好的學習習慣。

（四）總結擴展

1.請學生小結：在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出另三個元素。

2.幻燈片出示圖表，請學生完成

四、布置作業 

教材P.32習題6.4A組3。

[參考答案]

3.；

五、板書設計