三角形的內切圓
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：三角形內切圓的概念及內心的性質.因為它是三角形的重要概念之一.
難點：①難點是“接”與“切”的含義，學生容易混淆；②畫三角形內切圓，學生不易畫好.
2、教學建議
本節內容需要一個課時.
（1）在教學中，組織學生自己畫圖、類比、分析、深刻理解三角形內切圓的概念及內心的性質；
（2）在教學中，類比“三角形外接圓的畫圖、概念、性質”，開展活動式教學.
教學目標：
1、使學生了解尺規作的方法，理解三角形和多邊形的內切圓、圓的外切三角形和圓的外切多邊形、三角形內心的概念；
2、應用類比的數學思想方法研究內切圓，逐步培養學生的研究問題能力；
3、激發學生動手、動腦主動參與課堂教學活動.
教學重點：
三角形內切圓的作法和三角形的內心與性質.
教學難點：
三角形內切圓的作法和三角形的內心與性質.
教學活動設計
（一）提出問題
1、提出問題：如圖，你能否在△ABC中畫出一個圓？畫出一個最大的圓？想一想，怎樣畫?
2、分析、研究問題：
讓學生動腦筋、想辦法，使學生認識作三角形內切圓的實際意義.
3、解決問題：
例1 作圓，使它和已知三角形的各邊都相切.
引導學生結合圖，寫出已知、求作，然后師生共同分析，尋找作法.
提出以下幾個問題進行討論：
①作圓的關鍵是什么?
②假設⊙I是所求作的圓，⊙I和三角形三邊都相切，圓心I應滿足什么條件?
③這樣的點I應在什么位置?
④圓心I確定后半徑如何找.
A層學生自己用直尺圓規準確作圖，并敘述作法；B層學生在老師指導下完成.
完成這個題目后，啟發學生得出如下結論： 和三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作出一個.
（二）類比聯想，學習新知識.
1、概念：和三角形各邊都相切的圓叫做，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.
2、類比：
名稱 | 確定方法 | 圖形 | 性質 |
外心（三角形外接圓的圓心） | 三角形三邊中垂線的交點 | （1）OA=OB=OC； （2）外心不一定在三角形的內部. | |
內心（三角形內切圓的圓心） | 三角形三條角平分線的交點 | （1）到三邊的距離相等； （2）OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）內心在三角形內部. |
3、概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.
4、概念理解：
引導學生理解及圓的外切三角形的概念，并與三角形的外接圓與圓的內接三角形概念相比較，以加深對這四個概念的理解.使學生弄清“內”與“外”、“接”與“切”的含義.“接”與“切”是說明三角形的頂點和邊與圓的關系：三角形的頂點都在圓上，叫做“接”；三角形的邊都與圓相切叫做“切”.
（三）應用與反思
例2 如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，點O是三角形的內心.
求∠BOC的度數
分析：要求∠BOC的度數，只要求出∠OBC和∠0CB的度數之和就可，即求∠l十∠3的度數.因為O是△ABC的內心，所以OB和OC分別為∠ABC和∠BCA的平分線，于是有∠1十∠3＝ (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的內角和定理易求出∠BOC的度數.
解：(引導學生分析，寫出解題過程)
例3 如圖，△ABC中，E是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D
求證：DE＝DB
分析：從條件想，E是內心，則E在∠A的平分線上，同時也在∠ABC的平分線上，考慮連結BE，得出∠3＝∠4.
從結論想，要證DE＝DB，只要證明BDE為等腰三角形，同樣考慮到連結BE.于是得到下述法.
證明：連結BE.
E是△ABC的內心
又∵∠1=∠2
∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠4+∠5
∴∠BED=∠EBD
∴DE=DB
練習 分析作出已知的銳角三角形、直角三角形、鈍角，并說明三角形的內心是否都在三角形內.
（四）小結
1.教師先向學生提出問題：這節課學習了哪些概念?怎樣作已知?學習時互該注意哪些問題?
2.學生回答的基礎上，歸納總結：
(1)學習了三角形內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形、多邊形的內切圓、圓的外切多邊形的概念.
(2)利用作三角形的內角平分線，任意兩條角平分線的交點就是內切圓的圓心，交點到任意一邊的距離是圓的半徑.
(3)在學習有關概念時，應注意區別“內”與“外”，“接”與“切”；還應注意“連結內心和三角形頂點”這一輔助線的添加和應用.
（五）作業
教材P115習題中，A組1(3)，10，11，12題；A層學生多做B組3題.
探究活動
問題：如圖1，有一張四邊形ABCD紙片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°.
（1）要把該四邊形裁剪成一個面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心，若能請你度量出圓的半徑（精確到0.1cm）；
（2）計算出最大的圓形紙片的半徑（要求精確值）.
提示：（1）由條件可得AC為四邊形似的對稱軸，存在內切圓，能用折疊的方法找出圓心：
如圖2，①以AC為軸對折；②對折∠ABC，折線交AC于O；③使折線過O，且EB與EA邊重合.則點O為所求圓的圓心，OE為半徑.
（2）如圖3，設內切圓的半徑為r，則通過面積可得：6r+8r=48，∴r=.