方差

教學(xué)設(shè)計(jì)示例1

第一課時(shí)

素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生了解、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的與標(biāo)準(zhǔn)差.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

（三）德育滲透點(diǎn)

1.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀點(diǎn).

（四）美育滲透點(diǎn)

通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，滲透了數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力.

重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

1.教學(xué)重點(diǎn)：概念.

2.教學(xué)難點(diǎn)：概念.

3.教學(xué)疑點(diǎn)：學(xué)生不易理解為什么要用去描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來(lái)和來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢？為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值，而將其平方呢？對(duì)這些問(wèn)題教師在剖析定義時(shí)要講清楚.

4.解決辦法：教師要講清，標(biāo)準(zhǔn)差的意義，即它們都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時(shí)的情況.

教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)衡量樣本（或一組數(shù)據(jù)）和總體的另一類特征數(shù)——、標(biāo)準(zhǔn)差及其計(jì)算.

這種開(kāi)門見(jiàn)山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來(lái)，進(jìn)入新課講解.

（二）整體感知

對(duì)于一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，我們除了關(guān)心它的集中趨勢(shì)以外，還關(guān)心它的波動(dòng)大小.衡量這個(gè)波動(dòng)大小的最常用的特征數(shù)，就是和標(biāo)準(zhǔn)差.

（三）教學(xué)過(guò)程

1.請(qǐng)同學(xué)們看下面的問(wèn)題：（用幻燈出示）

兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下（單位：毫米）

上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖，提出問(wèn)題：怎樣能說(shuō)明在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個(gè)機(jī)床做得好呢？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)馬上想到計(jì)算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級(jí)分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).（請(qǐng)兩名同學(xué)到黑板計(jì)算）

計(jì)算的結(jié)果說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這能說(shuō)明兩個(gè)機(jī)床做的一樣好嗎？不能！我們?cè)儆^察上圖（給學(xué)生充分的時(shí)間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別）從圖中看到，機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這

說(shuō)明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.

教師說(shuō)明：從上面看到，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小（即偏離平均數(shù)的大小）.

通過(guò)引例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，為提出概念做好了準(zhǔn)

備.

2.概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對(duì)值，再取其平均數(shù)，用這個(gè)平均數(shù)來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 ，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

③

來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的.一組數(shù)據(jù)越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大.教師要剖析公式中每一個(gè)元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握.

在學(xué)生理解概念時(shí)，可能會(huì)提出疑問(wèn)：為什么要這樣定義？（教師說(shuō)明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時(shí)，為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消）為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值，而要將它們平方？（教師說(shuō)明，這主要是因?yàn)樵诤芏鄦?wèn)題里，含有絕對(duì)值的式子不便于運(yùn)算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的“功能”上，更強(qiáng)些）為什么要除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n？（是為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響）.

在學(xué)生理解了概念之后，再回到了引例中，通過(guò)計(jì)算機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的，再根據(jù)理論說(shuō)明哪個(gè)機(jī)床做得更好.

教師范解

從 知道，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.

這樣做使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)作用實(shí)踐，不僅使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

3.例1 （用幻燈出示）已知兩組數(shù)據(jù)：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的.

讓學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算，求平均數(shù)時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡(jiǎn)化公式計(jì)算，找一名好學(xué)生到黑板計(jì)算.

解：根據(jù)公式②（取 ），有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)大.

4.標(biāo)準(zhǔn)差概念

在有些情況下，需要用到的算術(shù)平方根

④

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算多開(kāi)一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.

課堂練習(xí)  教材P165中（1）、（2）

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

知識(shí)小結(jié)：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使我們知道了對(duì)于一組數(shù)據(jù)，有時(shí)只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動(dòng)大小；而描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的量不止一種，最常用的是和標(biāo)準(zhǔn)差.與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.

方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)的方法；先求平均數(shù)，再利用③求，求一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的，然后再求的算術(shù)平方根.

布置作業(yè) 

教材P173中1，2（1）（2）

板書(shū)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)示例2

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的與標(biāo)準(zhǔn)差.

2.使學(xué)生了解樣本、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體的意義.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體的意義.

難點(diǎn)：樣本、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)提問(wèn)

計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法？

引入新課

在很多實(shí)際問(wèn)題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小？這正是我們要解決的問(wèn)題.

新課

引例 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學(xué)生用公式②分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問(wèn)學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù)：

讓學(xué)生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時(shí)，甲、乙兩機(jī)床性能是否都一樣好？提出問(wèn)題讓學(xué)生議議后，再引導(dǎo)學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多；機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.”這說(shuō)明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面，機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.

這反映出，對(duì)一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小).

在此處要告訴學(xué)生：描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹即是一種方法.即：

來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的.

要強(qiáng)調(diào)“一組數(shù)據(jù)越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大”.條件許可時(shí)，還可介紹③式可表示為：

接下來(lái)可以請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生計(jì)算引例中機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的.

從0.026＞0.008可以比較出，機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.(接下來(lái)教師再給出如下例題.)

例1 已知兩組數(shù)據(jù)：

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的.

講此例后，要強(qiáng)調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù)；(2)求；(3)比較得出結(jié)論.

此后接前面問(wèn)題說(shuō)，用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，即

公式④(即標(biāo)準(zhǔn)差)也是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的重要的量.

在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可讓學(xué)生算一下，得出：

說(shuō)明：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算多開(kāi)一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時(shí)用它比較方便.

小結(jié)

1.本課學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的的公式③.

2.本課在的基礎(chǔ)上又學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的公式④.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè) ：選用課本習(xí)題.

四、教學(xué)注意問(wèn)題

要注意通過(guò)例題講好求題目的解題格式.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例3

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解、標(biāo)準(zhǔn)差的意義.

2.使學(xué)生掌握利用簡(jiǎn)化公式計(jì)算一組數(shù)據(jù)的的方法.

3.使學(xué)生會(huì)根據(jù)同類問(wèn)題兩組數(shù)據(jù)的(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：簡(jiǎn)化計(jì)算一組數(shù)據(jù)的公式.

難點(diǎn)：利用(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.

三、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.什么是一組數(shù)據(jù)的、標(biāo)準(zhǔn)差？

2.一組數(shù)據(jù)的和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)如何計(jì)算？

引入新課

我們看到，用公式③計(jì)算一組數(shù)據(jù)的比較麻煩.那么，有否較簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢？

新課

教師應(yīng)在黑板上進(jìn)行如下推導(dǎo)：

推導(dǎo)上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個(gè)公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n，那么它們的可以用下面的公式計(jì)算：

在這時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時(shí)，用公式⑤計(jì)算比公式③計(jì)算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.

例2 計(jì)算下面數(shù)據(jù)的(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位)：

3 -1 2 1 -3 3

教師可讓學(xué)生共同來(lái)完成此例.

接下來(lái)教師按教材指出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，可按下述公式計(jì)算：

其中x'₁=x₁-a，x'₂=x₂-a，…，x'_n=x_n-a，x₁，x₂，…，x_n是原已知的n個(gè)數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù).

為使學(xué)生對(duì)公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例.

例3 甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?單位：分)：

哪個(gè)小組學(xué)生的成績(jī)比較整齊？

解后，指出解題步驟有如下三步：

(3)代入公式⑥計(jì)算并比較得解.

小結(jié)

1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時(shí)，用以計(jì)算的簡(jiǎn)化計(jì)算公式⑤.

2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時(shí)，用以計(jì)算的簡(jiǎn)化公式⑥.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè) ：選用課本習(xí)題.

補(bǔ)充作業(yè) 

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的之和為13，標(biāo)準(zhǔn)差之和為5，且甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大，求它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差.(答案：S_甲=3，S_乙=2.)

3.在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個(gè)班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與.

四、教學(xué)注意問(wèn)題

要注意給學(xué)生講如下三點(diǎn)：

1.與標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本和總體波動(dòng)大小的特征數(shù).

2.用簡(jiǎn)化計(jì)算公式求較為方便.

3.對(duì)同類問(wèn)題的兩組數(shù)據(jù)，小的波動(dòng)小、大的波動(dòng)大.