第六冊二次函數

知識點〗二次函數、拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

〖大綱要求〗

1.  理解二次函數的概念；

2.  會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；

3.  會平移二次函數y＝ax²(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)²＋k的圖象，了解特殊與一般相互聯系和轉化的思想；

4.  會用待定系數法求二次函數的解析式；

5.  利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系。

內容

（1）二次函數及其圖象

如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。

二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。

（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向

拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的頂點是 ，對稱軸是 ，當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下。

   拋物線y=a（x+h）2+k(a≠0)的頂點是（-h，k），對稱軸是x=-h.

〖考查重點與常見題型〗

1.  考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數y＝(m－2)x²＋m²－m－2額圖像經過原點， 

則m的值是         

2.  綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數

y＝kx²＋bx－1的圖像大致是（     ）

        y               y             y               y

       1                              1

      0    x          o-1  x        0    x          0 -1  x

     A               B             C               D

3.  考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝，求這條拋物線的解析式。

4.  考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

    5.考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

習題1:

一、填空題：（每小題3分，共30分）

1、已知A（3，6）在第一象限，則點B（3，－6）在第 象限

2、對于y＝－，當x＞0時，y隨x的增大而

3、二次函數y＝x²＋x－5取最小值是，自變量x的值是

4、拋物線y＝（x－1）²－7的對稱軸是直線x＝

5、直線y＝－5x－8在y軸上的截距是

6、函數y＝中，自變量x的取值范圍是

7、若函數y＝（m＋1）x^m2＋3m＋1是反比例函數，則m的值為

8、在公式＝b中，如果b是已知數，則a＝

9、已知關于x的一次函數y＝（m－1）x＋7，如果y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是

10、       某鄉糧食總產值為m噸，那么該鄉每人平均擁有糧食y（噸），與該鄉人口數x的函數關系式是

二、選擇題：（每題3分，共30分）

11、函數y＝中，自變量x的取值范圍 （ ）

(A)x＞5 (B)x＜5 (C)x≤5 (D)x≥5

12、拋物線y＝（x＋3）²－2的頂點在 （ ）

(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

13、拋物線y＝（x－1）（x－2）與坐標軸交點的個數為 （ ）

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

14、下列各圖中能表示函數和在同一坐標系中的圖象大致是（ ）

(A) (B) (C) (D)

15.平面三角坐標系內與點（3，－5）關于y軸對稱點的坐標為（ ）

（A）（－3,5） （B）（3,5） （C）（－3，－5） （D）（3，－5）

16.下列拋物線，對稱軸是直線x＝的是（ ）

（A）       y＝x²（B）y＝x²＋2x（C）y＝x²＋x＋2（D）y＝x²－x－2

17.函數y＝中，x的取值范圍是（ ）

（A）x≠0 （B）x＞ （C）x≠ （D）x＜

18.已知A（0,0），B（3,2）兩點，則經過A、B兩點的直線是（ ）

（A）y＝x （B）y＝x （C）y＝3x （D）y＝x＋1

19.不論m為何實數，直線y＝x＋2m與y＝－x＋4 的交點不可能在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

20.某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（ ）

（A）2米 （B）3米 （C）4米 （D）5米

三.解答下列各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）

21.已知：直線y＝x＋k過點A（4，－3）。（1）求k的值；（2）判斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。

22.已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為x＝，

（1）       求這條拋物線的解析式；

（2）       試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于x軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。

23.已知：金屬棒的長1是溫度t的一次函數，現有一根金屬棒，在O℃時長度為200cm，溫度提高1℃，它就伸長0.002cm。

（1）       求這根金屬棒長度l與溫度t的函數關系式；

（2）       當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；

（3）       當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6cm時，求這時金屬棒的溫度。

24.已知x₁，x₂，是關于x的方程x²－3x＋m＝0的兩個不同的實數根，設s＝x₁²＋x₂²

（1）       求S關于m的解析式；并求m的取值范圍；

（2）       當函數值s＝7時，求x₁³＋8x₂的值；

25.已知拋物線y＝x²－（a＋2）x＋9頂點在坐標軸上，求a的值。

26、如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝Rt∠，截取AE＝BF＝DG＝x，已知AB＝6，CD＝3，AD＝4，求：

（1）   四邊形CGEF的面積S關于x的函數表達式和X的取值范圍；

（2）   當x為何值時，S的數值是x的4倍。

27、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售100元需繳稅8元（即稅率為8％），臺洲經濟開發區某工廠計劃銷售這種產品m噸，每噸2000元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每100元繳稅（8－x）元（即稅率為（8－x）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原計劃增加2x％。

（1）   寫出調整后稅款y（元）與x的函數關系式，指出x的取值范圍；

（2）   要使調整后稅款等于原計劃稅款（銷售m噸，稅率為8％）的78％，求x的值.

28、已知拋物線y＝x²＋（2－m）x－2m（m≠2）與y軸的交點為A，與x軸的交點為B，C（B點在C點左邊）

（1）   寫出A，B，C三點的坐標；

（2）   設m＝a²－2a＋4試問是否存在實數a，使△ABC為Rt△？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；

（3）   設m＝a²－2a＋4，當∠BAC最大時，求實數a的值。

習題2:

一.填空（20分）

1.二次函數=2（x - ）² +1圖象的對稱軸是           。

2.函數y= 的自變量的取值范圍是             。

3.若一次函數y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是               。

4.已知關于的二次函數圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數解析式為                           。

5.若y與x²成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數圖象上，且a,b是方程x²-x -12=0的兩根，則這個函數的關系式                            。

6.已知點P（1，a）在反比例函數y= （k≠0）的圖象上，其中a=m²+2m+3（m為實數），則這個函數圖象在第      象限。

7. x,y滿足等式x= ，把y寫成x的函數               ，其中自變量x的取值范圍是            。

8.二次函數y=ax²+bx+c+（a 0）的圖象如圖，則點P（2a-3，b+2）

在坐標系中位于第       象限

9.二次函數y=（x-1）²+（x-3）²，當x=          時，達到最小值           。

10.拋物線y=x²-（2m-1）x- 6m與x軸交于（x₁，0）和（x₂，0）兩點，已知x₁x₂=x₁+x₂+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移            個單位。

二.選擇題（30分）

11.拋物線y=x²+6x+8與y軸交點坐標（    ）

（A）（0，8）  （B）（0，-8）  （C）（0，6）   （D）（-2，0）（-4，0）

12.拋物線y=- （x+1）²+3的頂點坐標（    ）

 （A）（1，3）   （B）（1，-3）   （C）（-1，-3）   （D）（-1，3）

13.如圖，如果函數y=kx+b的圖象在第一、二、三象限，那么函數y=kx²+bx-1的圖象大致是（    ）

14.函數y= 的自變量x的取值范圍是（    ）

（A）x 2    （B）x<2    （C）x> - 2且x 1     （D）x 2且x –1

15.把拋物線y=3x²先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（    ）

（A）=3（x+3）² -2  （B）=3（x+2）²+2   （C）=3（x-3）² -2   （D）=3（x-3）²+2

16.已知拋物線=x²+2mx+m -7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程 x²+（m+1）x+m²+5=0的根的情況是（    ）

（A）有兩個正根  （B）有兩個負數根   （C）有一正根和一個負根 （D）無實根

17.函數y=- x的圖象與圖象y=x+1的交點在（    ）

（A）       第一象限  （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限

18.如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c的圖象，如圖，

則代數式b+c-a與0的關系（    ）

（A）b+c-a=0  （B）b+c-a>0  （C）b+c-a<0  （D）不能確定

19.已知：二直線y=- x +6和y=x - 2，它們與y軸所圍成的三角形的面積為（    ）

（A）6   （B）10   （C）20   （D）12

20.某學生從家里去學校，開始時勻速跑步前進，跑累了后，再勻速步行余下的路程。下圖所示圖中，橫軸表示該生從家里出發的時間t，縱軸表示離學校的路程s，則路程s與時間t之間的函數關系的圖象大致是（    ）

三.解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）

21.已知拋物線y=ax²+bx+c（a 0）與x軸的兩交點的橫坐標分別是-1和3，與y軸交點的縱坐標是- ；

（1）確定拋物線的解析式；

（2）用配方法確定拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標。

22、如圖拋物線與直線 都經過坐標軸的正半軸上A，B兩點，該拋物線的對稱軸x=—1，與x軸交于點C,且∠ABC=90°求：

    (1)直線AB的解析式；

(2)拋物線的解析式。

23、某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施.經調查發現每件襯衫降價1元，  商場平均每天可多售出2件：

  (1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，

  (2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?

24、已知：二次函數 和 的圖象都經過x軸上兩個不同的點M、N，求a、b的值。

25、如圖，已知⊿ABC是邊長為4的正三角形，AB在x軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標為{—1，0)，求

  (1)B，C，D三點的坐標；

  (2)拋物線 經過B，C，D三點，求它的解析式；

  (3)過點D作DE∥AB交過B，C，D三點的拋物線于E，求DE的長。

26 某市電力公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費的方法計算電費：每月用電不超100度

時，按每度0.57元計費：每月用電超過100度時.其中的100度仍按原標準收費，超過部分按每度0.50元計費。

    (1)設月用電x度時，應交電費y元，當x≤100和x>100時，分別寫出y關于x的函數

關系式；

(2)小王家第一季度交納電費情況如下：

問小王家第一季度共用電多少度?

27、巳知：拋物線

  (1)求證；不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；

    (2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；

    (3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：

       ①當⊿ABP是直角三角形時，求b的值；

       ②當⊿ABP是銳角三角形，鈍角三角形時，分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)  

28、已知二次函數的圖象 與x軸的交點為A，B(點B在點A的右邊)，與y軸的交點為C；

  (1)若⊿ABC為Rt⊿，求m的值；

  (1)在⊿ABC中，若AC=BC，求sin∠ACB的值；

  (3)設⊿ABC的面積為S，求當m為何值時，s有最小值.并求這個最小值。