解直角三角形

教學建議

1.知識結構：

本小節主要學習的概念，直角三角形中除直角外的五個元素之間的關系以及直角三角形的解法.

2.重點和難點分析：

教學重點和難點：直角三角形的解法.

本節的重點和難點是直角三角形的解法.為了使學生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學生知道什么叫做，直角三角形中三邊之間的關系，兩銳角之間的關系，邊角之間的關系.正確選用這些關系，是正確、迅速地的關鍵.

3. 深刻認識銳角三角函數的定義，理解三角函數的表達式向方程的轉化.

銳角三角函數的定義：

實際上分別給了三個量的關系：a、b、c是邊的長、和是由用不同方式來決定的三角函數值，它們都是實數，但它與代數式的不同點在于三角函數的值是有一個銳角的數值參與其中.

當這三個實數中有兩個是已知數時，它就轉化為一個一元方程，解這個方程，就求出了一個直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長.

畫出圖形，可知邊AC，BC和三個元素的關系是正切函數（或余切函數）的定義給出的，所以有等式

，

由于，它實際上已經轉化了以BC為未知數的代數方程，解這個方程，得

.

即得BC的長為.

又如，已知直角三角形斜邊的長為35.42cm，一條直角邊的長29.17cm，求另一條邊所對的銳角的大小.

畫出圖形，可設中，，于是，求的大小時，涉及的三個元素的關系是

也就是

這時，就把以為未知數的代數方程轉化為了以為未知數的方程，經查三角函數表，得

.

由此看來，表達三角函數的定義的4個等式，可以轉化為求邊長的方程，也可以轉化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具.

4. 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：

5. 注意非直角三角形問題向直角三角形問題的轉化

由上述（3）可以看到，只要已知條件適當，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不僅使直角三角形的計算問題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問題的解決鋪平了道路.不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問題轉化為直角三角形問題，就可以通過而獲得解決.請看下例.

例如，在銳角三角形ABC中，，求這個三角形的未知的邊和未知的角（如圖）

這是一個銳角三角形的解法的問題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好.），問題就轉化為兩個的問題.

在Rt中，有兩個獨立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時不具備求解的條件，但高AD可由解時求出，那時，它也將轉化為可解的直角三角形，問題就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴ 

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉化的途徑和方法是十分重要的，如

（1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉化為兩個直角三角形.

（2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉化為含直角三角形的圖形.

（3）連結對角線，可以把矩形、菱形和正方形轉化為含直角三角形的圖形.

（4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長的一半，銳角.

6. 要善于把某些實際問題轉化為問題.

很多實際問題都可以歸結為圖形的計算問題，而圖形計算問題又可以歸結為問題.

我們知道，機器上用的螺絲釘問題可以看作計算問題，而圓柱的側面可以看作是長方形圍成的（如圖）.螺紋是以一定的角度旋轉上升，使得螺絲旋轉時向前推進，問直徑是6mm的螺絲釘，若每轉一圈向前推進1.25mm，螺紋的初始角應是多少度多少分？

據題意，螺紋轉一周時，把側面展開可以看作一個直角三角形，直角邊AC的長為

，

另一條直角邊為螺釘推進的距離，所以

，

設螺紋初始角為，則在Rt中，有

∴.

即，螺紋的初始角約為 .

這個例子說明，生產和生活中有很多實際問題都可以抽象為一個問題，我們應當注意培養這種把數學知識應用于實際生活的意識和能力.

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