由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組

第一課時

一、教學目標 

1.使學生掌握由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組的解法.

2. 通過例題的分析講解，進一步提高學生的分析問題和解決問題的能力；

3. 通過一個二元二次方程解法的分析，使學生進一步體會“消元”和“降次”的數學思想方法，繼續向學生滲透“轉化”的辨證唯物主義觀點.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學重點：通過把一個二元二次方程分解為兩個二元一次方程來解由兩個二元二次方程組成的方程組.

2.教學難點 ：正確地判斷出可以分解的二元二次方程.

3.教學疑點：降次后的二元一次方程與哪個方程重新組成方程組，一定要分清楚.

4.解決辦法：（1）看好哪個二元二次方程能分成兩個二元一次方程，它們之間是“或”的關系，不能聯立成方程組.（2）分解好的二元一次方程應與另一個二元二次方程組成兩個二元二次方程組.

三、 教學過程 

1.復習提問

（1）我們所學習的二元二次方程組有哪幾種類型？

（2）解二元二次方程組的基本思想是什么？

（3）解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的基本方法是什么？其主要步驟是什么？

（4）解方程組： .
（5）把下列各式分解因式：

① ； ② ； ③ .

關于問題設計的說明：

由于二元二次方程組的第一節課已經向學生闡明了我們所研究的二元二次方程組有兩種類型.其一是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組；其二是由

兩個二元二次方程所組成的方程組.由于第一種類型我們已經研究完，使學生自然而然地接

受了第二種類型研究的要求.關于問題（2）的提出，由于兩種類型的二元二次方程組的解題思想均為“消元”和“降次”，所以問題（2）讓學生懂得“消元”和“降次”的數學思想，貫穿于解二元二次方程組的始終.問題（3）、（4）是對上兩節課內容的復習，以便學生對已學過的知識得到進一步的鞏固.由于本節課的學習內容是由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法，其中有一個二元二次方程可以分解，因此，問題（5）的設計是為本節課的學習內容做準備的.

2.例題講解

例1 解方程組

分析：這是一個由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組，其解題的基本思路仍為“消元”、“降次”，使之轉化為我們已經學過的方程組或方程的解法.那么如何轉化呢？關于轉

化的形式有兩種，要么降二次為一次，要么化二元為一元我們通過觀察方程組中的兩個方程有什么特點，可以發現：方程組（2）的右邊是0，左邊 是一個二次齊次式，并且可以分解為 ，因此方程（2）可轉化為 ，即 或 ，從而可分別和方程（1）組成兩個由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組，從而解出這兩個方程組，得到原方程組的解.

解：由（2）得

因此，原方程組可化為兩個方程組

解方程組，得原方程組的解為

說明：本題可由教師引導學生獨立完成，教師應對學生的解題格式給予強調.

例2 解方程組

分析：這個方程組也是由兩個二元二次方程組成的方程組，通過認真的觀察與分析可以

發現方程（2）的左邊是一個完全平方式，而右邊是完全平方米，因此將右邊16移到左邊后可利用平方差公式進行分解， ，即 或 ，從而可仿例1的解法進行.

解：由 （2）得

.

即 ，或 .

因此，原方程組可轉化為兩個方程組

解這兩個方程組，得原方程組的解為

鞏固練習：

1.教材P60中1.此練習可讓學生口答.

2.教材P60中2.此題讓學生獨立完成.

四、總結擴展

本節小結，內容較為集中并且比較簡單，可引導學生從兩個方面進行總結：（1）本節課學習了哪種類型的方程組的解法；（2）這種類型的方程組的解題步驟如何？

這節課我們學習了由兩個二元二次方程組成的并且有一個方程是可以分解成兩個二元一次方程的方程組的解法，解這種類型的方程組的步驟是將原二元二次方程組轉化為兩個已學習過的二元二次方程組，從而求出原方程組的解.

關于比較特殊的二元二次方程組的解法，教師可以利用輔導課的時間補充兩個二元二次方程都可以分解的二元二次方程組的解法.

五、布置作業 

1.教材P61A 1，2，3.

六、板書設計 

探究活動

若關于 的方程 只有一個解，試求出 值與方程的解.

解：化簡原方程，得 （1）

當 時，原方程有惟一解 ，符合題意.

當 時，方程（1）根據的判別式

∵

∴ ，故方程（1）總有兩個不同的實數解，按題意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能產生的增根只是0或1.

把 代入（1），方程不成立，不合題，故增根只能是 ，把 代入（1）得 ，此時方程為 ，

∴當 時，分式方程的解為 ；當 時，分式方程的解為 .