一元二次方程的根的判別式（一）

1. 知識結構：

2. 重點、難點分析

（1）本節的重點是會用判別式判定根的情況.一元二次方程的根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也可以利用它進一步學習函數的有關內容，所以，它是本節課的重點.

（2）本節的難點是一元二次方程根的三種情況的推導.教科書首先將一元二次方程用配方法變形為 .因為，所以方程右邊的符號就由來確定，而方程左邊的不可能是一個負數，因此，把分三種情況來討論方程根的情況.推導過程中利用了分類的思想方法，對于分類討論學生感覺到較難，老師應該講明分類的基本思想。

3. 教法建議：

（1）引入要自然、合理

新課引入前，作一個鋪墊：前面我們講了一元二次方程的解法，我們掌握了開平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一個一元二次方程，但是，存在這樣一個問題，并不是所有的一元二次方程都有解，我們可以通過把解求出來，來解方程，也可以通過判定方程無解，來解方程，這樣我們就面臨著一個問題，什么時候方程有解？什么時候方程無解？我們不解方程能不能判定根的情況？那就是我們本節所要研究的問題.讓學生首先感覺到所要學習的知識并不突然，也顯露了本節課的重點.

（2）利用多媒體進行教學

本節是根的判別式結論的推導，比較抽象，為了便于學生理解，使用所提供的動畫，有助于學生對所講內容的理解，調動學生主動思維的積極性，活躍課堂氣氛，提高學習效率.

（3）本節在推導根的判別式的結論時，利用了分類的思想，對于學生這是一個難點，一定給學生講清楚分類的依據，分類的基本思想，使學生對所得結論深信不疑.

一、教學目標 

1. 理解一元二次方程的根的判別式，并能用判別式判定根的情況；

2. 通過根的判別式的學習,培養學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力；

3.通過根的情況的研究過程，讓學生深刻體會轉化和分類的思想方法.

二、重點·難點及解決辦法

1.教學重點：會用判別式判定根的情況。

2.教學難點 ：一元二次方程根的三種情況的推導.

3.解決辦法：（1）求判別式時，應先將方程化為一般形式，確定a、b、c。（2）利用判別式可以判定一元二次方程的存在性情況（共四種）；方程有兩個實數根，方程有兩個不相等的實數根，方程有兩個相等的實數根，方程沒有實數根。

三、教學步驟 

（一）教學過程 

1.復習提問

（1）平方根的性質是什么？

（2）解下列方程：① ；② ；③ 。

問題（1）為本節課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用。問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用。

2.任何一個一元二次方程 用配方法將其變形為 ，因此對于被開方數 來說，只需研究 為如下幾種情況的方程的根。

（1）當 時，方程有兩個不相等的實數根。

即

（2）當 時，方程有兩個相等的實數根，即 。

（3）當 時，方程沒有實數根。

教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？

答： 。

3.①定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。

②一元二次方程 。

當 時，有兩個不相等的實數根；

當 時，有兩個相等的實數根；

當 時，沒有實數根。

反之亦然。

注意以下幾個問題：

（1） 這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況。正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊。在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法。

（2）當 ，說“方程 沒有實數根”比較好。有時，也說“方程無解”。這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根的意思。

4.例題講解

例1  不解方程，判別下列方程的根的情況：

（1） ；（2） ；（3） 。

解：（1）

∴原方程有兩個不相等的實數根。

（2）原方程可變形為

。

，

∴原方程有兩個相等的實數根。
（3）原方程可變形為

。

∴原方程沒有實數根。

學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的（2）計算 的值；（3）判別根的情況。

強調兩點：（1）只要能判別 值的符號就行，具體數值不必計算出。（2）判別根據的情況，不必求出方程的根。

練習：不解方程，判別下列方程的情況：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） ；

（5） ；（6）

學生板演、筆答、評價。

（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設 ，判別方程 根的情況，由此判別原方程根的情況。

例2  不解方程，判別方程 的根的情況。

解： 。

又  ∵  不論k取何實數， ，

∴  原方程有兩個實數根。

教師板書，引導學生回答。此題是含有字母系數的一元二次方程。注意字母的取值范圍，從而確定 的取值。

練習：不解方程，判別下列方程根的情況。

（1） ；

（2） ；

（3） 。

學生板演、筆答、評價。教師滲透、點撥。

（3）解：

∵  不論m取何值， ，即 。

∴  方程無實數解。

由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值。

（二）總結、擴展

1.判別式的意義及一元二次方程根的情況。

（1）定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。

（2）一元二次方程 。

當 時，有兩個不相等的實數根；

當 時，有兩個相等的實數根；

當 時，沒有實數根。反之亦然。

2.通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法。

四、布置作業 

教材P27A1～4。

5.不解方程，判斷下x的方程的根的情況

（1）

（2）

五、板書設計