由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組

第一課時

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.使學(xué)生掌握由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組的解法.

2. 通過例題的分析講解，進一步提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；

3. 通過一個二元二次方程解法的分析，使學(xué)生進一步體會“消元”和“降次”的數(shù)學(xué)思想方法，繼續(xù)向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的辨證唯物主義觀點.

二、重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學(xué)重點：通過把一個二元二次方程分解為兩個二元一次方程來解由兩個二元二次方程組成的方程組.

2.教學(xué)難點 ：正確地判斷出可以分解的二元二次方程.

3.教學(xué)疑點：降次后的二元一次方程與哪個方程重新組成方程組，一定要分清楚.

4.解決辦法：（1）看好哪個二元二次方程能分成兩個二元一次方程，它們之間是“或”的關(guān)系，不能聯(lián)立成方程組.（2）分解好的二元一次方程應(yīng)與另一個二元二次方程組成兩個二元二次方程組.

三、 教學(xué)過程 

1.復(fù)習(xí)提問

（1）我們所學(xué)習(xí)的二元二次方程組有哪幾種類型？

（2）解二元二次方程組的基本思想是什么？

（3）解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的基本方法是什么？其主要步驟是什么？

（4）解方程組： .
（5）把下列各式分解因式：

① ； ② ； ③ .

關(guān)于問題設(shè)計的說明：

由于二元二次方程組的第一節(jié)課已經(jīng)向?qū)W生闡明了我們所研究的二元二次方程組有兩種類型.其一是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組；其二是由

兩個二元二次方程所組成的方程組.由于第一種類型我們已經(jīng)研究完，使學(xué)生自然而然地接

受了第二種類型研究的要求.關(guān)于問題（2）的提出，由于兩種類型的二元二次方程組的解題思想均為“消元”和“降次”，所以問題（2）讓學(xué)生懂得“消元”和“降次”的數(shù)學(xué)思想，貫穿于解二元二次方程組的始終.問題（3）、（4）是對上兩節(jié)課內(nèi)容的復(fù)習(xí)，以便學(xué)生對已學(xué)過的知識得到進一步的鞏固.由于本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法，其中有一個二元二次方程可以分解，因此，問題（5）的設(shè)計是為本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容做準(zhǔn)備的.

2.例題講解

例1 解方程組

分析：這是一個由兩個二元二次方程組成的二元二次方程組，其解題的基本思路仍為“消元”、“降次”，使之轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的方程組或方程的解法.那么如何轉(zhuǎn)化呢？關(guān)于轉(zhuǎn)

化的形式有兩種，要么降二次為一次，要么化二元為一元我們通過觀察方程組中的兩個方程有什么特點，可以發(fā)現(xiàn)：方程組（2）的右邊是0，左邊 是一個二次齊次式，并且可以分解為 ，因此方程（2）可轉(zhuǎn)化為 ，即 或 ，從而可分別和方程（1）組成兩個由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組，從而解出這兩個方程組，得到原方程組的解.

解：由（2）得

因此，原方程組可化為兩個方程組

解方程組，得原方程組的解為

說明：本題可由教師引導(dǎo)學(xué)生獨立完成，教師應(yīng)對學(xué)生的解題格式給予強調(diào).

例2 解方程組

分析：這個方程組也是由兩個二元二次方程組成的方程組，通過認真的觀察與分析可以

發(fā)現(xiàn)方程（2）的左邊是一個完全平方式，而右邊是完全平方米，因此將右邊16移到左邊后可利用平方差公式進行分解， ，即 或 ，從而可仿例1的解法進行.

解：由 （2）得

.

即 ，或 .

因此，原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個方程組

解這兩個方程組，得原方程組的解為

鞏固練習(xí)：

1.教材P60中1.此練習(xí)可讓學(xué)生口答.

2.教材P60中2.此題讓學(xué)生獨立完成.

四、總結(jié)擴展

本節(jié)小結(jié)，內(nèi)容較為集中并且比較簡單，可引導(dǎo)學(xué)生從兩個方面進行總結(jié)：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪種類型的方程組的解法；（2）這種類型的方程組的解題步驟如何？

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了由兩個二元二次方程組成的并且有一個方程是可以分解成兩個二元一次方程的方程組的解法，解這種類型的方程組的步驟是將原二元二次方程組轉(zhuǎn)化為兩個已學(xué)習(xí)過的二元二次方程組，從而求出原方程組的解.

關(guān)于比較特殊的二元二次方程組的解法，教師可以利用輔導(dǎo)課的時間補充兩個二元二次方程都可以分解的二元二次方程組的解法.

五、布置作業(yè) 

1.教材P61A 1，2，3.

六、板書設(shè)計 

探究活動

若關(guān)于 的方程 只有一個解，試求出 值與方程的解.

解：化簡原方程，得 （1）

當(dāng) 時，原方程有惟一解 ，符合題意.

當(dāng) 時，方程（1）根據(jù)的判別式

∵

∴ ，故方程（1）總有兩個不同的實數(shù)解，按題意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能產(chǎn)生的增根只是0或1.

把 代入（1），方程不成立，不合題，故增根只能是 ，把 代入（1）得 ，此時方程為 ，

∴當(dāng) 時，分式方程的解為 ；當(dāng) 時，分式方程的解為 .