高中數(shù)學(xué)軌跡問題說課稿
大家好！今天我講的熱點問題是軌跡問題。 一、軌跡問題在教材中的地位和作用二、軌跡問題的高考命題走向三、軌跡問題的大綱要求及應(yīng)試策略四、求軌跡方程的基本方法求軌跡方程的基本方法有：直接法、相關(guān)點法、定義法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。（一）、直接法：直接法也叫直譯法，即根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點間距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡。這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧。例1 ：已知直角坐標(biāo)平面上點Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù) ( >0)，求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。說課：這個例題用直接法解，尋找動點所滿足的條件：|MN|= |MQ|，然后再利用有關(guān)公式將條件用坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而求出軌跡方程。 例1在書本上的原型是（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P100例4，P112例3）：點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定直線L：x= 的距離的比是常數(shù) （a＞c＞0）（或c＞a＞0），求點M的軌跡。這是橢圓和雙曲線的第二定義， 經(jīng)變化，即化為例1。而例1 再經(jīng)變化又可得：課本原題2（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P85小結(jié)與復(fù)習(xí)例2）：求證到圓心距離為a（a＞0）的兩個相離定圓的切線長相等的點的軌跡是直線。（圖1）將這個課本例題進(jìn)一步擴展，就得到：2005年高考·江蘇卷19題變式：（2005年高考·江蘇卷）如圖2，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1與圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得PM= PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P的軌跡方程。 從這些變式我們可看到；數(shù)學(xué)教材始終是高考數(shù)學(xué)命題的源頭活水，高考試題有相當(dāng)一部分是源于教材，即從課本的例題、習(xí)題出發(fā)，采取科學(xué)的組合、加工、擴展或賦予新的背景等形成的，充分體現(xiàn)了教材的基礎(chǔ)作用。因此，在復(fù)習(xí)過程中，用好教材是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時對教材進(jìn)行深加工，在每一堂復(fù)習(xí)課中，盡量引入一些課本典型例題、習(xí)題，從解題思路，解題方法，解題規(guī)律等方面作一些探索，并做一些變式研究，使之與高考試題接近。（二）、相關(guān)點法（代入法）說課：相關(guān)點法也稱“代入法”，如果軌跡動點P（x，y）依賴于另一動點Q（a，b），而Q又按某個規(guī)律運動，則可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它滿足的條件便得到動點P的軌跡方程。例2：M是拋物線y2=x上一動點，O為原點，以O(shè)M為一邊作正方形MNPO，求動點P的軌跡方程。分析：動點P的位置，依賴于拋物線上的點M，故可考慮用相關(guān)點法求P的軌跡方程。相關(guān)點法在課本的習(xí)題中有較多的體現(xiàn)，如：1、（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P95例3）：2、（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P96，習(xí)題8.1 T6）：3、（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P119習(xí)題8.5 T6）：4、（試驗修訂本 數(shù)學(xué)第二冊（上）P133、復(fù)習(xí)參考八 T15）：等，高考題中，如變式：（2002上海高考試題）一般地：定比分點問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點法。（三）、定義法：說課：定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.如例題3中，點P的軌跡符合橢圓的定義，用橢圓定義直接探求又如2005年高考山東卷22題動圓圓心的軌跡符合拋物線的定義，用拋物線定義直接探求定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。（四）、參數(shù)法：說課：如果動點P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，可考慮將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。例4 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y = x2上異于坐標(biāo)原點O的兩不同動點A、B，滿足 = 0，求△AOB的重心G的軌跡方程。解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)解法二：以A、B的坐標(biāo)為參數(shù)，這是多參問題，消去A點坐標(biāo)(x1，y1), B點坐標(biāo)(x2, y2),即得到重心G的軌跡方程。思維感悟：1o、用參數(shù)法求軌跡是高考中常考的重要題型，由于選參靈活，技巧性強，也是學(xué)生較難掌握的一類問題。2o、用參數(shù)法求軌跡方程的基本步驟：建系——設(shè)標(biāo)——引參——求參數(shù)方程——消參——檢驗3o、選用什么變量為參數(shù)，要看動點隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截距、定比、角、點的坐標(biāo)等。4o、要特別注意消參前后保持范圍的等價性。5o、多參問題中，根據(jù)方程的觀點，引入n個參數(shù)，需建立n+1個方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時，方程個數(shù)可減少）。進(jìn)一步將這個題目進(jìn)行變式練習(xí)，得到2005年高考江西卷第22題如圖，已知拋物線 ，動點P在直線 上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點. 求△APB的重心G的軌跡方程.由A點坐標(biāo)、B點坐標(biāo)、P點坐標(biāo)所滿足的關(guān)系得出重心G的軌跡方程. 在高考復(fù)習(xí)中，要注意加強一題多解的教學(xué)，培養(yǎng)思維的廣闊性、靈活性并從中探求優(yōu)化的解法，提高解題能力；同時也要注意加強一題多變的教學(xué)，深化教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。 例5：如圖，已知⊙M：x2 + (y－2)2 =1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點，求動弦AB中點P的軌跡方程。交軌法是參數(shù)法的簡單處理方法，求兩動曲線交點軌跡問題常用交軌法，即直接聯(lián)立兩動曲線方程消參數(shù)，而不必先解出動點軌跡參數(shù)方程，再消參數(shù)，值得我們重視的是在求軌跡時應(yīng)注意充分利用平面幾何知識。（五）、向量法：向量法類似于直澤法，以向量為工具，將幾何量的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運算。（95年全國高考試題）這是95年的一道全國高考題，是一道有難度的多動點軌跡問題，若不用向量求解，其求解過程曲折冗長，且運算復(fù)雜，現(xiàn)采用向量求解，不僅簡化運算，而且其過程變得流暢自然。以解析幾何知識為載體、以向量為工具、以考查軌跡方程曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式及其應(yīng)用為目標(biāo)，是近年高考新課程卷在向量與解析幾何交匯點上設(shè)置試題的顯著特點，值得我們充分注意。五、總結(jié)以上就是我對軌跡問題的幾點看法，不足之處敬請各位同仁指教。