不等式的證明課堂實錄

一、不等式證明的常用方法和基本不等式 
　　師：前面我們復(fù)習(xí)了不等式的性質(zhì)，現(xiàn)在開始復(fù)習(xí)不等式的證明.下面我們先來看一個問題：
　　[例1]求證：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　如何證明這個不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？
　　生：比較法、分析法和綜合法.
　　師：什么是比較法？這個不等式能不能用比較法來證明？
　　生：要證明a＞b，只要證明a-b＞0，這就是不等式證明的比較法，這個不等式能用比較法證明.
　　證法一
　　∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
　　 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2
　　 =(bc-ad)2≥0
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　師：用比較法證明不等式的基本步驟有哪些？
　　生：有三步：(1)作差　(2)變形　(3)確定符號
　　師：什么是分析法？這個不等式能不能用分析法來證明？
　　生：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題；如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.
　　證法二
　　要證明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
　　也就是證明b2c2+a2d2≥2abcd
　　即　　(bc-ad)2≥0
　　∵(bc-ad)2≥0成立
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立
　　(教師指出應(yīng)用分析法證明時要注意書寫格式)
　　師：什么是綜合法？這個不等式能不能用綜合法來證明？
　　生：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個不等式能用綜合法來證明.
　　證法三
　　∵b2c2+a2d2≥2abcd
　　∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
　　即　　(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　師：應(yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為基礎(chǔ)的已經(jīng)證明過的不等式.這些不等式大都是基本不等式，主要有：
　　a2+b2≥2ab (a、b∈R)
　　 (a、b∈R+)
　　這里要注意：
　　(1)不等式成立的條件，字母的允許值范圍；
　　(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.
　　[這里改變了高三復(fù)習(xí)課先整理知識，然后講解例題的傳統(tǒng)模式，而是先提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生復(fù)習(xí)的欲望和要求，喚起學(xué)生對舊知識的回憶，引起學(xué)生的思維.這樣可以提高學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性.在此基礎(chǔ)上，通過教師的啟發(fā)，讓學(xué)生自己逐步回憶過去所學(xué)的知識，應(yīng)用它們來分析問題和解決問題，最好引導(dǎo)學(xué)生自己歸納、整理舊知識，形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).]
　　二、不等式證明方法的應(yīng)用
　　[例2]已知a、b、c是不全相等的正數(shù).
　　　　 求證：
　　(先讓學(xué)生議論，然后由學(xué)生起來回答，教師板書.)
　　證明：∵
　　　　　　a、b、c是不全相等的正數(shù)
　　　　　　∴①②③中等號不同時成立
　　　　　　∴
　　　　　　即
　　(如果學(xué)生按上述步驟進行證明，教師應(yīng)提出：這樣證明有沒有問題？讓學(xué)生通過思考后發(fā)現(xiàn)：在證明一開始必須先指出a、b、c∈R+，否則不能確定①、②、③是否成立.)
　　師：在證明不等式時，應(yīng)注意以下幾點：
　　(1)不等式的逆向運用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等式.
　　(2)已知條件在不等式證明中的應(yīng)用.由于a、b、c是三個不全相等的正數(shù)，從而得出①、②、③中三個等號不同時成立，于是才能證得原不等式成立.
　　(3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.
　　[例3]已知a、b、c∈R+，求證：
　　(師生共同進行分析)
　　要證明
　　只要證明
　　也就是證明
　　如何證明這個不等式呢？(讓學(xué)生議論后回答)
　　生：∵a、b∈R+
　　　　∴
　　　　∴
　　師：這樣證明有沒有問題？　　生：(回答略)
　　師：在證明中必須注意：
　　
　　
　　這是因為兩個同向不等式相乘，必須兩個不等式的兩邊都是正的，才能運用不等式性質(zhì)得出正確的結(jié)論.
　　通過討論我們可以得出如下結(jié)論：
　　(1)在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后運用綜合法來表達.
　　(2)在不等式證明中常常要綜合應(yīng)用其他的數(shù)學(xué)知識，如例3中要應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的增減性來證明.
　　(3)同向不等式相乘也是用綜合法證明不等式的常用手段.
　　[復(fù)習(xí)基本方法除了理解方法本身以外，重點是復(fù)習(xí)它的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握運用基本方法的規(guī)律以及在運用時應(yīng)注意的問題.在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后用綜合法表達，在運用綜合法時，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，還有不等式的逆向運用問題.在不等式證明的過程中，特別要注意基本不等式和不等式性質(zhì)運用時所必須具備的條件，所有這些都必須通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生掌握.這里還運用提出問題、分析問題和解決問題的方式來進行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過討論，自己總結(jié)規(guī)律，掌握方法，提高能力，充分發(fā)揮他們的主體作用，提高復(fù)習(xí)效果.]
　　三、不等式證明方法的靈活應(yīng)用
　　師：下面請同學(xué)們探討一下例4的解法
　　[例4]已知a、b、c∈R+，求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc