下學期 5.6平面向量的數量積及運算律2

（第二課時）

一、教學目標 

1.掌握平面向量的數量積的運算律，并能運用運算律解決有關問題；

2.掌握向量垂直的充要條件，根據兩個向量的數量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數的值；

3.了解用平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；

4.通過平面向量的數量積的重要性質及運算律猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；

5.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質及運算律的應用，培養學生的應用意識.

二、教學重點  平面向量的數量積運算律，向量垂直的條件；

教學難點   平面向量的數量積的運算律，以及平面向量的數量積的應用.

三、教學具準備

投影儀

四、教學過程 

1.設置情境

上節課，我們已經給出了數量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節課將研究數量積作為一種運算，它還滿足哪些運算律？

2.探索研究

（1）師：什么叫做兩個向量的數量積？

生： （ 與 向量的數量積等式 的模 與 在 的方向上的投影 的乘積）

師：向量的數量積有哪些性質？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

師：向量的數量積滿足哪些運算律？

生（由學生驗證得出）

交換律：

分配律：

師：這個式子 成立嗎？（由學生自己驗證）

生： ，因為 表示一個與 共線的向量，而 表示一個與 共線的向量，而 與 一般并不共線，所以，向量的內積不存在結合律。

（2）例題分析

【例1】求證：

（1）

（2）

分析：本例與多項式乘法形式完全一樣。

證：         

注： （其中 、 為向量）

答：一般不成立。

【例2】已知 ， ， 與 的夾角為 ，求 .

解：∵

注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值.

【例3】已知 ， 且 與 不共線，當且僅當 為何值時，向量 與 互相垂直.

分析：師：兩個向量垂直的充要條件是什么？

生：

解： 與 互相垂直的充要條件是

即

∵   

∴

∴ 

∴  當且僅當 時， 與 互相垂直.

3.演練反饋（投影）

（1）已知 ， 為非零向量， 與 互相垂直， 與 互相垂直，求 與 的夾角.

（2） ， 為非零向量，當 的模取最小值時，

①求 的值；

②求證： 與 垂直.

（3）證明：直徑所對的圓周角為直角.

參考答案：

（1）

（2）解答：①由

當 時 最小；

②∵

∴ 與 垂直.

（3）如圖所示，設 ， ， （其中 為圓心， 為直徑， 為圓周上任一點）

則

∵  ，

∴   即  圓周角

4.總結提煉

（l）

（2）向量運算不能照搬實數運算律，如結合律數量積運算就不成立.

（3）要學會把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問題的先決條件.

（4）對向量式不能隨便約分，因為沒有這條運算律.

五、板書設計