下學期 4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質2
4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第二課時）
（一）教學具準備
直尺，投影儀.
（二）教學目標
1.掌握 ， 的定義域、值域、最值、單調區間.
2.會求含有 、 的三角式的定義域.
（三）教學過程
1.設置情境
研究函數就是要討論一些性質， ， 是函數，我們當然也要探討它的一些屬性.本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質.
2.探索研究
師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？
生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等.
師：很好，今天我們就來探索 ， 兩條最基本的性質——定義域、值域.（板書課題正、余弦函數的定義域、值域.）
師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像.
師：請同學思考以下幾個問題：
（1）正弦、余弦函數的定義域是什么？
（2）正弦、余弦函數的值域是什么？
（3）他們最值情況如何？
（4）他們的正負值區間如何分？
（5） 的解集如何？
師生一起歸納得出：
（1）正弦函數、余弦函數的定義域都是 .
（2）正弦函數、余弦函數的值域都是 即 ， ，稱為正弦函數、余弦函數的有界性.
（3）取最大值、最小值情況：
正弦函數 ，當 時，（ ）函數值 取最大值1，當 時，（ ）函數值 取最小值－1.
余弦函數 ，當 ，（ ）時，函數值 取最大值1，當 ，（ ）時，函數值 取最小值－1.
（4）正負值區間：
（ ）
（5）零點： （ ）
（ ）
3.例題分析
【例1】求下列函數的定義域、值域：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ，
（2）由 （ ）
又∵ ，∴
∴定義域為 （ ），值域為 .
（3）由 （ ），又由
∴
∴定義域為 （ ），值域為 .
指出：求值域應注意用到 或 有界性的條件.
【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時 的集合：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） （4） .
解：（1）當 ，即 （ ）時， 取得最大值
∴函數的最大值為2，取最大值時 的集合為 .
（2）當 時，即 （ ）時， 取得最大值 .
∴函數的最大值為1，取最大值時 的集合為 .
（3）若 ， ，此時函數為常數函數.
若 時， ∴ 時，即 （ ）時，函數取最大值 ，
∴ 時函數的最大值為 ，取最大值時 的集合為 .
（4）若 ，則當 時，函數取得最大值 .
若 ，則 ，此時函數為常數函數.
若 ，當 時，函數取得最大值 .
∴當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ；當 時，函數取得最大值 ，取得最大值時 的集合為 ，當 時，函數無最大值.
指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對 或 的系數進行討論.
思考：此例若改為求最小值，結果如何？
【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？
（1） ； （2） .
解：（1）由 ，
∴當 時，式子有意義.
（2）由 ，即
∴當 時，式子有意義.
4.演練反饋（投影）
（1）函數 ， 的簡圖是（ ）
（2）函數 的最大值和最小值分別為（ ）
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
（3）函數 的最小值是（ ）
A. B.－2 C. D.
（4）如果 與 同時有意義，則 的取值范圍應為（ ）
A. B. C. D. 或
（5） 與 都是增函數的區間是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（6）函數 的定義域________，值域________， 時 的集合為_________.
參考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6. ； ；
5.總結提煉
（1） ， 的定義域均為 .
（2） 、 的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的 集合為無限集.
（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然.
（6）單調區間也可以從圖上看出.
（五）板書設計
1.定義域 2.值域 3.最值 4.正負區間 5.零點 例1 | 例2 例3 課堂練習 |
課后思考題：求函數 的最大值和最小值及取最值時的 集合
提示：