上學(xué)期 2.4 反函數(shù)

教學(xué)目標 

1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念,初步掌握求反函數(shù)的方法.

2.通過反函數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題,解決問題的能力及抽象概括的能力.

3.通過反函數(shù)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生樹立辨證唯物主義的世界觀.

教學(xué)重點,難點

重點是反函數(shù)概念的形成與認識.

難點是掌握求反函數(shù)的方法.

教學(xué)用具

投影儀

教學(xué)方法

自主學(xué)習(xí)與啟發(fā)結(jié)合法

教學(xué)過程 

一. 揭示課題

今天我們將學(xué)習(xí)函數(shù)中一個重要的概念----反函數(shù).

1.4. 反函數(shù)(板書)

(一)反函數(shù)的概念(板書)

二.講解新課

教師首先提出這樣一個問題:在函數(shù) 中,如果把 當作因變量,把 當作自變量,能否構(gòu)成一個函數(shù)呢?(讓學(xué)生思考后回答,要講明理由)可以根據(jù)函數(shù)的定義在 的允許取值范圍內(nèi)的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對應(yīng).(還可以讓學(xué)生畫出函數(shù)的圖象,從形的角度解釋“任一 對唯一 ”)

學(xué)生解釋后教師指出不管從哪個角度,它都是一個函數(shù),即 有反函數(shù),而且把這個函數(shù)稱為 的反函數(shù).那么這個反函數(shù)的解析式是什么呢?

由學(xué)生回答出應(yīng)為 .教師再提出 它作為函數(shù)是沒有問題的,但不太符合我們的表示習(xí)慣,按習(xí)慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動之后帶來一個新問題: 和 是同一函數(shù)嗎?

由學(xué)生討論,并說明理由,要求學(xué)生能從函數(shù)三要素的角度去認識,并給出解釋,讓學(xué)生真正承認它們是同一函數(shù).并把 叫做 的反函數(shù).繼而再提出: 有反函數(shù)嗎？是哪個函數(shù)?

學(xué)生很快會意識到 是 的反函數(shù),教師可再引申為 與 是互為反函數(shù)的.然后利用問題再引申:是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)呢?如果有,請舉出例子.在教師啟發(fā)下學(xué)生可以舉出象 這樣的函數(shù),若將 當自變量, 當作因變量,在 允許取值范圍內(nèi)一個 可能對兩個 (可畫圖輔助說明,當 時,對應(yīng) ),不能構(gòu)成函數(shù),說明此函數(shù)沒有反函數(shù).

通過剛才的例子,了解了什么是反函數(shù),把對 的反函數(shù)的研究過程一般化,概括起來就可以得到反函數(shù)的定義,但這個數(shù)學(xué)的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關(guān)的內(nèi)容.

1. 反函數(shù)的定義:(板書)(用投影儀打出反函數(shù)的定義)

為了幫助學(xué)生理解,還可以把定義中的 換成某個具體簡單的函數(shù)如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個函數(shù),最后改寫為 .給出定義后,再對概念作點深入研究.

2.對概念得理解(板書)

教師先提出問題:反函數(shù)的“反”字應(yīng)當是相對原來給出的函數(shù)而言,指的是兩者的關(guān)系你能否從函數(shù)三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來說)

學(xué)生很容易先想到對應(yīng)法則是“反”過來的,把 與 的位置換位了,教師再追問它們的互換還會帶來什么變化?啟發(fā)學(xué)生找出另兩個要素之間的關(guān)系.最后得出結(jié)論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的.再把結(jié)論從特殊發(fā)展到一般,概括為:反函數(shù)的三要素是由原來函數(shù)的三要素決定的.給出的函數(shù)確定了,反函數(shù)的三要素就已經(jīng)確定了.簡記為“三定”.

(1)“三定”(板書)

然后要求學(xué)生把剛才的三定具體化,也就是“反”字的具體體現(xiàn).由學(xué)生一一說出反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域,反函數(shù)的對應(yīng)法則就是把原來函數(shù)對應(yīng)法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過程)如圖

最后教師進一步明確“反”實際體現(xiàn)為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.

(2)“三反”(板書)

此時教師可把問題再次引向深入,提出:如果一個函數(shù)存在反函數(shù),應(yīng)怎樣求這個反函數(shù)呢?下面我給出兩個函數(shù),請同學(xué)們根據(jù)自己對概念的理解來求一下它們的反函數(shù).

例1. 求 的反函數(shù).(板書)

(由學(xué)生說求解過程,有錯或不規(guī)范之處,暫時不追究,待例2解完之后再一起講評)

解:由 得 , 所求反函數(shù)為 .(板書)

例2. 求 , 的反函數(shù).(板書)

解:由 得 ,又 得 ,

故所求反函數(shù)為 .(板書)

求完后教師請同學(xué)們作評價,學(xué)生之間可以討論,充分暴露表述中得問題,讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn),自行解決.最后找代表發(fā)表意見,指出例2中問題,結(jié)果應(yīng)為 , .

教師可先明知故問 ,與 , 有什么不同?讓學(xué)生明確指出兩個函數(shù)定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數(shù).再追問 從何而來呢?讓學(xué)生能從三定和三反中找出理由,是從原來函數(shù)的值域而來.

在此基礎(chǔ)上,教師最后明確要求,由于反函數(shù)的定義域必是原來函數(shù)的值域,而不是從自身解析式出發(fā)尋求滿足的條件,所以求反函數(shù),就必須先求出原來函數(shù)的值域.之后由學(xué)生調(diào)整剛才的求解過程.

解: 由 得 ,又 得 ,

又 的值域是 ,

故所求反函數(shù)為 , .

(可能有的學(xué)生會提出例1中為什么不求原來函數(shù)的值域的問題,此時不妨讓學(xué)生去具體算一算,會發(fā)現(xiàn)原來函數(shù)的值域域求出的函數(shù)解析式中所求定義域時一致的,所以使得最后結(jié)果沒有出錯.但教師必須指出結(jié)論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規(guī)范求解過程要求大家一定先求原來函數(shù)的值域,并且在最后所求結(jié)果上注明反函數(shù)的定義域,同時讓學(xué)生調(diào)整例的表述,將過程補充完整)

最后讓學(xué)生一起概括求反函數(shù)的步驟.

3.求反函數(shù)的步驟(板書)

(1) 反解:

(2) 互換

(3) 改寫:

對以上環(huán)節(jié)教師可稍作解釋,然后提出再通過下面的練習(xí)來檢驗是否真正理解了.

三.鞏固練習(xí)

練習(xí):求下列函數(shù)的反函數(shù).

 (1)     (2) .(由兩名學(xué)生上黑板寫)

解答過程略.

教師可針對學(xué)生解答中出現(xiàn)的問題,進行講評.(如正負的選取,值域的計算,符號的使用)

四.小結(jié)

1. 對反函數(shù)概念的認識:

2. 求反函數(shù)的基本步驟:

五.作業(yè) 

課本第68頁習(xí)題2.4第1題中4,6,8,第2題.

六.板書設(shè)計