上學(xué)期 3.1數(shù)列

教學(xué)目標(biāo) 

1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的表示法，能夠根據(jù)通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng).

2.通過(guò)數(shù)列定義的歸納概括，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力；滲透函數(shù)思想.

3.通過(guò)有關(guān)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極性.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)列的定義的歸納與認(rèn)識(shí)；教學(xué)難點(diǎn) 是數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.

教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學(xué)方法：講授法為主

教學(xué)過(guò)程 

一.揭示課題

今天開(kāi)始我們研究一個(gè)新課題.

先舉一個(gè)生活中的例子：場(chǎng)地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱(chēng)作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類(lèi)推，問(wèn)：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿(mǎn)足于一層層的去數(shù)，而是要但求如何去研究，找出一般規(guī)律.實(shí)際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

（板書(shū)） 象這樣排好隊(duì)的數(shù)就是我們的研究對(duì)象——數(shù)列.

（板書(shū)）第三章 數(shù)列

（一）數(shù)列的概念

二.講解新課

要研究數(shù)列先要知道何為數(shù)列，即先要給數(shù)列下定義，為幫助同學(xué)概括出數(shù)列的定義，再給出幾列數(shù)：

（幻燈片）                     ①

自然數(shù)排成一列數(shù)：

②

3個(gè)1排成一列：

③

無(wú)數(shù)個(gè)1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到 排列起來(lái)：

                          ⑤

正整數(shù) 的倒數(shù)排成一列數(shù)：

                                ⑥

函數(shù) 當(dāng) 依次取 時(shí)得到一列數(shù)：

                              ⑦

函數(shù) 當(dāng) 依次取 時(shí)得到一列數(shù)：

                           ⑧

請(qǐng)學(xué)生觀察8列數(shù)，說(shuō)明每列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都有自己的特定的位置，這樣數(shù)列就是按一定順序排成的一列數(shù).

（板書(shū)）1.數(shù)列的定義：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.

為表述方便給出幾個(gè)名稱(chēng)：項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，首項(xiàng)（以幻燈片的形式給出）.以上述八個(gè)數(shù)列為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，指出某一個(gè)數(shù)列的一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

由此可以看出，給定一個(gè)數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，……，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確定.所以數(shù)列中的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過(guò)的函數(shù)有密切關(guān)系.

（板書(shū)）2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集 ，或是正整數(shù)集 的有限子集 .

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點(diǎn)看待數(shù)列.

遇到數(shù)學(xué)概念不單要下定義，還要給其數(shù)學(xué)表示，以便研究與交流，下面探討數(shù)列的表示法.

（板書(shū)）3.數(shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用 表示第一項(xiàng)，用 表示第一項(xiàng)，……，用 表示第 項(xiàng)，依次寫(xiě)出成為

（板書(shū)）（1）列舉法

.（如幻燈片上的例子）簡(jiǎn)記為 .

一個(gè)函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個(gè)數(shù)列，把它稱(chēng)作圖示法.

（板書(shū)）（2）圖示法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).

有些函數(shù)可以用解析式來(lái)表示，解析式反映了一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類(lèi)似地有一些數(shù)列的項(xiàng)能用其項(xiàng)數(shù)的函數(shù)式表示出來(lái)，即 ，這個(gè)函數(shù)式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（板書(shū)）（3）通項(xiàng)公式法

如數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ；

  的通項(xiàng)公式為 ；

的通項(xiàng)公式為 ；

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示.通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng).

例如，數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，則 .

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，叫做遞推公式.

（板書(shū)）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第 層鋼管數(shù) 與第 層鋼管數(shù) 的關(guān)系是 ，再給定 ，便可依次求出各項(xiàng).再如數(shù)列 中， ，這個(gè)數(shù)列就是 .

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可.

可由學(xué)生舉例，以檢驗(yàn)學(xué)生是否理解.

三.小結(jié)

1.數(shù)列的概念

2.數(shù)列的四種表示

四.作業(yè)   略

五.板書(shū)設(shè)計(jì)