下學(xué)期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

4.7二倍角的正弦、余弦、正切（第二課時(shí)）

（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀

（二）教學(xué)目標(biāo) 
1.應(yīng)用倍角公式解決本章開(kāi)頭的一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題.
2.活用倍角公式，推求半角公式.

（三）教學(xué)過(guò)程 
1.設(shè)置情境
請(qǐng)同學(xué)看教材第3頁(yè)上的一段文字，它敘述的是一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題：
“如圖1，是一塊以點(diǎn) 為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個(gè)內(nèi)接矩形 辟為綠地，使其一邊 落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn) 、 落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑為 ，如何選擇關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的點(diǎn) 、 的位置，可以使矩形 的面積最大？”根據(jù)教材提示應(yīng)用所學(xué)的倍角公式，同學(xué)們能嘗試解答它嗎？
2.探索研究
分析：要使矩形 的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來(lái)，不妨利用我們所學(xué)的三角知識(shí)，從角的方面進(jìn)行考慮，設(shè) ，則 ， ，所以 可以用 表示.
解：設(shè)   則  

∵   ∴
當(dāng) 時(shí)，    即 ，
這時(shí)  ，
答：點(diǎn) 、 分別位于點(diǎn) 的左、右方 處時(shí) 取得最大值 .
變式：把一段半徑為 的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？
生：根據(jù)上題的結(jié)果可知這時(shí)圓內(nèi)接矩形為內(nèi)接正方形時(shí)面積最大.
以上是倍角公式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，請(qǐng)同學(xué)們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明.
3.例題分析
【例1】求證：
（1） ；（2） ；
（3） .
思考，討論.
我們知道公式 中 是任意的，所以我們可以用 來(lái)替換 ，這樣就得到


即            

上面三式左邊都是平方形式，當(dāng) 的值已知， 角的終邊所在象限已知時(shí)，就可以將右邊開(kāi)方，從而求得：
         
以上兩式相除又得：

這三個(gè)式子稱之為半角公式，“±”號(hào)的取舍得由 終邊所在象限確定.

【例2】求證：
.
分析：從例1引出例2， ，右邊是同一個(gè)三角函數(shù)，并且還要附上正負(fù)號(hào)，而所要證明的式子右邊有兩個(gè)三角函數(shù)，不帶正負(fù)號(hào).故我們不能利用上法，得另想辦法.
師：（邊敘述邊板書）


∴
上式不含根號(hào)也不必考慮“±”號(hào)選取，通常用于化簡(jiǎn)或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運(yùn)用.

【例3】已知： ，求 ， ， .
解：


說(shuō)明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍.習(xí)慣從左到右，常稱“擴(kuò)角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，
②半角公式是二倍角公式的另一種表達(dá)方式，倍半關(guān)系是相對(duì)的.
練習(xí)（投影）
1.已知：       （ ），
求：（1） ；（2） .
2.若 ，求： 的值.
3.求： 的值.

參考答案：
解：1.∵
兩邊平方得              ∴
又∵         ∴
∴          ∴
2.∵     ∴
原式
（3）




另解：設(shè)  ……………………①
……………………②
①＋②得 …………………………③
①－②得 ……④
③＋④得     ∴
4.總結(jié)提煉
（1）本節(jié)課我們由倍角公式出發(fā)解決了實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，得出結(jié)論“在一個(gè)圓的所有內(nèi)接矩形中，以內(nèi)接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導(dǎo)出半角公式，公式“±”號(hào)的選取決定于 終邊所在的象限，例2的應(yīng)用也很廣泛，大家可根據(jù)題目的條件選擇使用較為方便的形式.
（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來(lái)表示.
（3）若給出的 是象限角，則可根據(jù)下表決定符號(hào).

若給出的 是區(qū)間角，則先求 所在區(qū)間再確定符號(hào).
若沒(méi)有給出確定符號(hào)的條件，則應(yīng)在根號(hào)前保留“±”號(hào).

（五）板書設(shè)計(jì)