上學期 2.6 指數函數
教學目標
1. 理解指數函數的定義,初步掌握指數函數的圖象,性質及其簡單應用.
2. 通過指數函數的圖象和性質的學習,培養學生觀察,分析,歸納的能力,進一步體會數形結合的思想方法.
3. 通過對指數函數的研究,使學生能把握函數研究的基本方法,激發學生的學習興趣.
教學重點和難點
重點是理解指數函數的定義,把握圖象和性質.
難點是認識底數對函數值影響的認識.
教學用具
投影儀
教學方法
啟發討論研究式
教學過程
一. 引入新課
我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函數-------指數函數.
1.6.指數函數(板書)
這類函數之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:
問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次后,得到的細胞分裂的個數 與 之間,構成一個函數關系,能寫出 與 之間的函數關系式嗎?
由學生回答: 與 之間的關系式,可以表示為 .
問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長度為 米,試寫出 與 之間的函數關系.
由學生回答: .
在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數與我們前面研究的函數有所區別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數的位置上,那么就把形如這樣的函數稱為指數函數.
一. 指數函數的概念(板書)
1.定義:形如 的函數稱為指數函數.(板書)
教師在給出定義之后再對定義作幾點說明.
2.幾點說明 (板書)
(1) 關于對 的規定:
教師首先提出問題:為什么要規定底數大于0且不等于1呢?(若學生感到有困難,可將問題分解為若 會有什么問題?如 ,此時 , 等在實數范圍內相應的函數值不存在.
若 對于 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發生,所以規定 且 .
(2)關于指數函數的定義域 (板書)
教師引導學生回顧指數范圍,發現指數可以取有理數.此時教師可指出,其實當指數為無理數時, 也是一個確定的實數,對于無理指數冪,學過的有理指數冪的性質和運算法則它都適用,所以將指數范圍擴充為實數范圍,所以指數函數的定義域為 .擴充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應用價值.
(3)關于是否是指數函數的判斷(板書)
剛才分別認識了指數函數中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據定義我們知道什么樣的函數是指數函數,請看下面函數是否是指數函數.
(1) , (2) , (3)
(4) , (5) .
學生回答并說明理由,教師根據情況作點評,指出只有(1)和(3)是指數函數,其中(3) 可以寫成 ,也是指數圖象.
最后提醒學生指數函數的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數的性質,此時研究的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質.
3.歸納性質
作圖的用什么方法.用列表描點發現,教師準備明確性質,再由學生回答.
函數
1.定義域 :
2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函數也不是偶函數
4.截距:在 軸上沒有,在 軸上為1.
對于性質1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對于單調性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導函數圖象畫圖的依據.(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交.)
在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由于不具備對稱性,故 的值應有正有負,且由于單調性不清,所取點的個數不能太少.
此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數據,而學生自己列表描點,至少六組數據.連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢(當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.
二.圖象與性質(板書)
1.圖象的畫法:性質指導下的列表描點法.
2.草圖:
當畫完第一個圖象之后,可問學生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?(教師可提示底數的條件是 且 ,取值可分為兩段)讓學生明白需再畫第二個,不妨取 為例.
此時畫它的圖象的方法應讓學生來選擇,應讓學生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關于 軸對稱,而此時 的圖象已經有了,具備了變換的條件.讓學生自己做對稱,教師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到 的圖象.
最后問學生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學生認為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質,若認為還需畫,則教師可利用計算機再畫出如 的圖象一起比較,再找共性)
由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個表,如下:
以上內容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描述,然后再讓學生將幾何的特征,翻譯為函數的性質,即從代數角度的描述,將表中另一部分填滿.
填好后,讓學生仿照此例再列一個 的表,將相應的內容填好.為進一步整理性質,教師可提出從另一個角度來分類,整理函數的性質.
3.性質.
(1)無論 為何值,指數函數 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 .
(2) 時, 在定義域內為增函數, 時, 為減函數.
(3) 時, , 時, .
總結之后,特別提醒學生記住函數的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質.
三.簡單應用 (板書)
1.利用指數函數單調性比大小. (板書)
一類函數研究完它的概念,圖象和性質后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.
例1. 比較下列各組數的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與1 .(板書)
首先讓學生觀察兩個數的特點,有什么相同?由學生指出它們底數相同,指數不同.再追問根據這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓學生聯想指數函數,提出構造函數的方法,即把這兩個數看作某個函數的函數值,利用它的單調性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.
解: 在 上是增函數,且
< .(板書)
教師最后再強調過程必須寫清三句話:
(1) 構造函數并指明函數的單調區間及相應的單調性.
(2) 自變量的大小比較.
(3) 函數值的大小比較.
后兩個題的過程略.要求學生仿照第(1)題敘述過程.
例2.比較下列各組數的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與 .(板書)
先讓學生觀察例2中各組數與例1中的區別,再思考解決的方法.引導學生發現對(1)來說 可以寫成 ,這樣就可以轉化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說 可以寫成 ,也可轉化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉化方法,由學生思考解決.(教師可提示學生指數函數的函數值與1有關,可以用1來起橋梁作用)
最后由學生說出 >1, <1, > .
解決后由教師小結比較大小的方法
(1) 構造函數的方法: 數的特征是同底不同指(包括可轉化為同底的)
(2) 搭橋比較法: 用特殊的數1或0.
三.鞏固練習
練習:比較下列各組數的大小(板書)
(1) 與 (2) 與 ;
(3) 與 ; (4) 與 .解答過程略
四.小結
1.指數函數的概念
2.指數函數的圖象和性質
3.簡單應用
五 .板書設計