子集、全集、補集

教學目標 ：

（1）理解子集、真子集、補集、兩個集合相等概念；
（2）了解全集、空集的意義，
（3）掌握有關的符號及表示方法，會用它們正確表示一些簡單的集合，培養學生的符號表示的能力；
（4）會求已知集合的子集、真子集，會求全集中子集在全集中的補集；
（5）能判斷兩集合間的包含、相等關系，并會用符號及圖形（文氏圖）準確地表示出來，培養學生的數學結合的數學思想；
（6）培養學生用集合的觀點分析問題、解決問題的能力.

教學重點：子集、補集的概念

教學難點 ：弄清元素與子集、屬于與包含之間的區別

教學用具：幻燈機

教學過程 設計

（一）導入  新課

上節課我們學習了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關系等知識.

【提出問題】（投影打出）

已知 ， ， ，問：

1.哪些集合表示方法是列舉法.
2.哪些集合表示方法是描述法.
3.將集M、集從集P用圖示法表示.
4.分別說出各集合中的元素.
5.將每個集合中的元素與該集合的關系用符號表示出來.將集N中元素3與集M的關系用符號表示出來.
6.集M中元素與集N有何關系.集M中元素與集P有何關系.

【找學生回答】

1.集合M和集合N；（口答）
2.集合P；（口答）
3.（筆練結合板演）

4.集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1.（口答）
5. ， ， ， ， ， ， ， （筆練結合板演）
6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.（口答）

【引入】在上面見到的集M與集N；集M與集P通過元素建立了某種關系，而具有這種關系的兩個集合在今后學習中會經常出現，本節將研究有關兩個集合間關系的問題.

（二）新授知識

1.子集
（1）子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
記作：    讀作：A包含于B或B包含A

當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：A B或B A.
性質：① （任何一個集合是它本身的子集）
② （空集是任何集合的子集）

【置疑】能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合？
【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合.
因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的.空集也是B的子集，而這個集合中并不含有B中的元素.由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的.

（2）集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。
例： ，可見，集合 ，是指A、B的所有元素完全相同.

（3）真子集：對于兩個集合A與B，如果 ，并且 ，我們就說集合A是集合B的真子集，記作： （或 ），讀作A真包含于B或B真包含A。

【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集.”
集合B同它的真子集A之間的關系，可用文氏圖表示，其中兩個圓的內部分別表示集合A，B.

【提問】

（1） 寫出數集N，Z，Q，R的包含關系，并用文氏圖表示。
（2） 判斷下列寫法是否正確
① A  ② A  ③   ④A A

性質：

（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A≠ ，則 A；
（2）如果 ， ，則 .
例1  寫出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集.

【注意】（1）子集與真子集符號的方向。

       （2）易混符號

①“ ”與“ ”：元素與集合之間是屬于關系；集合與集合之間是包含關系。如 R，{1} {1，2，3}
②{0}與 ：{0}是含有一個元素0的集合， 是不含任何元素的集合。
                如： {0}。不能寫成 ={0}， ∈{0}

例2 見教材P₈（解略）

例3  判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正.

（1） 表示空集；
（2）空集是任何集合的真子集；
（3） 不是 ；
（4） 的所有子集是 ；
（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；
（6） 與 不能同時成立.
解：（1） 不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以（1）不正確；
（2）不正確.空集是任何非空集合的真子集；
（3）不正確. 與 表示同一集合；
（4）不正確. 的所有子集是 ；
（5）正確
（6）不正確.當 時， 與 能同時成立.

例4  用適當的符號（ ， ）填空：

（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ；
（4）設 ， ， ，則A    B     C.

解：（1）0     0      ；
（2） ＝ ， ；
（3） ，   ∴ ；
（4）A，B，C均表示所有奇數組成的集合，∴A＝B＝C.

【練習】教材P₉

用適當的符號（ ， ）填空：
（1）    ；          （5）    ；
（2）    ；      （6）    ；
（3）    ；      （7）    ；
（4）    ；     （8）    .

解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）＝；（6） ；（7） ；（8） .

提問：見教材P₉例子

（二） 全集與補集

1.補集：一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集），記作 ，即

.

A在S中的補集 可用右圖中陰影部分表示.

性質： _S（ _SA）=A

如：（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則 _SA={2，4，6}；
（2）若A={0}，則 _NA=N^*；
（3） _RQ是無理數集。

2.全集：

如果集合S中含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用 表示.

注： 是對于給定的全集 而言的，當全集不同時，補集也會不同.
例如：若 ，當 時， ；當 時，則 .

例5  設全集 ， ， ，判斷 與 之間的關系.

解：∵

∴

∵

∴

∴

練習：見教材P₁₀練習

1.填空：

， ， ，那么 ， .

解： ，

2.填空：

（1）如果全集 ，那么N的補集 ；
（2）如果全集， ，那么 的補集 （ ）=         .
解：（1） ；（2） .

（三）小結：本節課學習了以下內容：

1.五個概念（子集、集合相等、真子集、補集、全集，其中子集、補集為重點）
2.五條性質
（1）空集是任何集合的子集。Φ A
（2）空集是任何非空集合的真子集。Φ A  （A≠Φ）
（3）任何一個集合是它本身的子集。
（4）如果 ， ，則 .
（5） _S（ _SA）=A

3.兩組易混符號：（1）“ ”與“ ”：（2）{0}與

（四）課后作業 ：見教材P₁₀習題1.2

（五）板書設計 ：