上學期 2.9 函數的應用舉例

函數初步應用

教學目標 

1.能夠運用常見函數的性質及平面幾何有關知識解決某些簡單的實際問題.

2.通過對實際問題的 研究，培養學生分析問題，解決問題的能力

3.通過把實際問題向數學問題的轉化，滲透數學建模的思想，提高學生用數學的意識，及學習數學的興趣.

教學重點，難點

重點是應用問題的閱讀分析和解決.

難點是根據實際問題建立相應的數學模型

教學方法

師生互動式

教學用具

投影儀

教學過程 

一.   提出問題

數學來自生活，又應用于生活和生產實踐.而實際問題中又蘊涵著豐富的數學知識，數學思想與方法.如剛剛學過的函數內容在實際生活中就有著廣泛的應用.今天我們就一起來探討幾個應用問題.

問題一：如圖，△ 是邊長為2的正三角形，這個三角形在直線 的左方被截得圖形的面積為 ，求函數 的解析式及定義域. (板書)

(作為應用問題由于學生是初次研究，所以可先選擇以數學知識為背景的應用題，讓學生研究)

首先由學生自己閱讀題目，教師可利用計算機讓直線運動起來，觀察三角形的變化，由學生提出研究方法.由學生說出由于圖形的不同計算方法也不同，應分類討論.分界點應在 ，再由另一個學生說出面積的 計算方法.

當 時， ，(采用直接計算的方法)

當 時，

.(板書)

(計算第二段時，可以再畫一個相應的圖形，如圖) 

綜上，有 ，

此時可以問學生這是什么函數?定義域應怎樣計算?讓學生明確是分段函數的前提條件下，求出定義域為 .(板書)

問題解決后可由教師簡單小結一下研究過程中的主要步驟(1)閱讀理解；(2)建立目標函數；(3)按要求解決數學問題.

下面我們一起看第二個問題

問題二：某工廠制定了從1999年底開始到2005年底期間的生產總值持續增長的兩個三年計劃，預計生產總值年平均增長率為 ，則第二個三年計劃生產總值 與第一個三年計劃生產總值 相比，增長率 為多少?(投影儀打出)

首先讓學生搞清增長率的含義是兩個三年總產值之間的關系問題，所以問題轉化為已知年增長率為 ，分別求兩個三年計劃的總產值.

設1999年總產值為 ，第一步讓學生依次說出2000年到2005年的年總產值，它們分別為：

2000年      2003年  

2001年      2004年  

2002年    2005年   (板書)

第二步再讓學生分別算出第一個三年總產值 和第二個三年總產值

= + +

= .

= + +

= .(板書)

第三步計算增長率 .

.(板書)

計算后教師可以讓學生總結一下關于增長率問題的研究應注意的問題.最后教師再指出關于增長率的問題經常構建的數學模型為 ，其中 為基數， 為增長率， 為時間.所以經常會用到指數函數有關知識加以解決.

總結后再提出最后一個問題

問題三：一商場批發某種商品的進價為每個80元，零售價為每個100元，為了促進銷售，擬采用買一個這種商品贈送一個小禮品的辦法，試驗表明，禮品價格為1元時，銷售量可增加10%，且在一定范圍內禮品價格每增加1元銷售量就可增加10%.設未贈送禮品時的銷售量為 件.

(1)寫出禮品價值為 元時，所獲利潤 (元)關于 的函數關系式;

(2)請你設計禮品價值，以使商場獲得最大利潤.  (為節省時間，應用題都可以用投影儀打出)

題目出來后要求學生認真讀題，找出關鍵量.再引導學生找出與利潤相關的量.包括銷售量，每件的利潤及禮品價值等.讓學生思考后，列出銷售量的式子.再找學生說出每件商品的利潤的表達式，完成第一問的列式計算.

解： .(板書)

完成第一問后讓學生觀察解析式的特點，提出如何求這個函數的最大值(此出最值問題是學生比較陌生的，方法也是學生不熟悉的)所以學生遇到思維障礙，教師可適當提示，如可以先具體計算幾個值看一看能否發現規律，若看不出規律，能否把具體計算改進一下，再計算中能體現它是最大?也就是讓學生意識到應用最大值的概念來解決問題.最終將問題概括為兩個不等式的求解即

(2)若使利潤最大應滿足

同時成立即 解得

當 或 時， 有最大值.

由于這是實際應用問題，在答案的選擇上應考慮價值為9元的禮品贈送，可獲的最大利潤.

三.小結

通過以上三個應用問題的研究，要學生了解解決應用問題的具體步驟及相應的注意事項.

四.作業    略

五.板書設計 

2.9 函數初步應用

問題一：                                                 

解：

問題二

分析

問題三

分析

小結：