下學期 4.8 正弦函數、余弦函數的圖像和性質3

4.8  正弦函數、余弦函數的圖像和性質（第三課時）

（一）教學具準備

直尺、投影儀.

（二）教學目標 

1.理解 ， 的周期性概念，會求周期.

2.初步掌握用定義證明 的周期為 的一般格式.

（三）教學過程 

1.設置情境

自然界里存在著許多周而復始的現象，如地球的自轉和公轉，物理學中的單擺運動和彈簧振動、圓周運動等.數學里從正弦函數、余弦函數的定義可知，角 的終邊每轉一周又會與原來的位置重合，故 ， 的值也具有周而復始的變化規律.為定量描述這種周而復始的變化規律，今天，我們來學習一個新的數學概念——函數的周期性（板書課題）

2.探索研究

（1）周期函數的定義

引導學生觀察下列圖表及正弦曲線

正弦函數值當自變量增加或減少一定的值時，函數值就重復出現.

聯想誘導公式 ，若令 則 ，由這個例子，我們可以歸納出周期函數的定義：

對于函數 ，如果存在一個非零常數 ，使得當 取定義域內的每一個值時，都有 ，那么函數 叫做周期函數，非零常數 叫做這個函數的周期.

如 ， ，…及 ， …都是正弦函數的周期.

注意：周期函數定義中 有兩點須重視，一是 是常數且不為零；二是等式必須對定義域中的每一個值時都成立.

師：請同學們思考下列問題：①對于函數 ， 有 能否說 是正弦函數 的周期.

生：不能說 是正弦函數 的周期，這個等式雖成立，但不是對定義域的每一個值都使等式 成立，所以不符合周期函數的定義.

② 是周期函數嗎？為什么

生：若是周期函數，則有非零常數 ，使 ，即 ，化簡得 ，∴ （不非零），或 （不是常數），故滿足非零常數 不存在，因而 不是周期函數.

思考題：若 為 的周期，則對于非零整數 ， 也是 的周期.（課外思考）

（2）最小正周期的定義

師：我們知道…， ， ， ， …都是正弦函數的周期，可以證明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期.

一般地，對于一個周期函數 ，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做 的最小正周期.

今后若涉及的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數的最小正周期.

依據定義， 和 的最小正周期為 .

（3）例題分析

【例1】求下列函數的周期：

（1） ， ； （2） ， ；

（3） ， .

分析：由周期函數的定義，即找非零常數 ，使 .

解：（1）因為余弦函數的周期是 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，余弦函數的值才能重復取得，函數 ， 的值也才能重復取得，從而函數 ， 的周期是 .

即 ，∴

（2）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，就是說，變量 只要并且至少要增加到 ，函數 ， 的值才能重復取得，而 所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值就能重復取得，從而函數 ， 的周期是 .

即 

∴

（3）令 ，那么 必須并且只需 ，且函數 ， 的周期是 ，由于 ，所以自變量 只要并且至少要增加到 ，函數值才能重復取得，即 是能使等式 成立的最小正數，從而函數 ， 的周期是 .

而

∴

師：從上例可以看出，這些函數的周期僅與自變量 的系數有關，其規律如何？你能否求出函數 ， 及函數 ， （其中 ， ， 為常數，且 ， ）的周期？

生：

∴ .

同理可求得 的周期 .

【例2】求證：

（1） 的周期為 ；

（2） 的周期為 ；

（3） 的周期為 .

分析：依據周期函數定義 證明.

證明：（1）

∴ 的周期為 .

（2）

∴ 的周期為 .

（3）

∴ 的周期為 .

3.演練反饋（投影）

（1）函數 的最小正周期為（      ）

A. B. C. D.

（2） 的周期是_________

（3）求 的最小正周期.

參考答案：

（1）C；（2）   ∴

（3）欲求 的周期，一般是把三角函數 化成易求周期的函數 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多個化一個，高次化一次”，將所給函數化成單角單函數.

由

4.總結提煉

（1）三角函數所特有的性質是周期性，周期與最小正周期是不同概念，研究三角函數的周期時，如未特別聲明，一般是指它的最小正周期.

（2）設 ， .若 為 的周期，則必有：① 為無限集，② ；③ 在 上恒成立.

（3）只有 或 型的三角函數周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用.如 ，就不能說它的周期為 .

（四）板書設計 

思考題：設 是定義在 上的以2為周期的周期函數，且是偶函數，當 時， ，求 上的表達式

參考答案：