對(duì)數(shù)

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解的概念，掌握的運(yùn)算性質(zhì).
(1) 了解式的由來和含義，清楚式中各字母的取值范圍及與指數(shù)式之間的關(guān)系.能認(rèn)識(shí)到指數(shù)與運(yùn)算之間的互逆關(guān)系.
(2) 會(huì)利用指數(shù)式的運(yùn)算推導(dǎo)運(yùn)算性質(zhì)和法則，能用符號(hào)語言和文字語言描述運(yùn)算法則，并能利用運(yùn)算性質(zhì)完成簡(jiǎn)單的運(yùn)算.
(3) 能根據(jù)概念進(jìn)行指數(shù)與之間的互化.
2.通過概念的學(xué)習(xí)和運(yùn)算法則的探究及證明，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思維能力，滲透化歸的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.
3.通過概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一，相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化的思想.通過運(yùn)算法則的探究，使學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律從而調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極參與，培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及大膽探索，實(shí)事求是的科學(xué)精神.

教學(xué)建議

教材分析

(1) 既是一個(gè)重要的概念，又是一種重要的運(yùn)算，而且它是與指數(shù)概念緊密相連的.它們是對(duì)同一關(guān)系從不同角度的刻畫，表示為當(dāng) 時(shí)， .所以指數(shù)式 中的底數(shù)，指數(shù)，冪與式 中的底數(shù)，，真數(shù)的關(guān)系可以表示如下：

(2) 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是的定義和運(yùn)算性質(zhì)，難點(diǎn)是的概念.

首先作為一種運(yùn)算，由 引出的，在這個(gè)式子中已知一個(gè)數(shù) 和它的指數(shù)求冪的運(yùn)算就是指數(shù)運(yùn)算，而已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)就是運(yùn)算(而已知指數(shù)和冪求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算就是開方運(yùn)算)，所以從方程角度來看待的話，這個(gè)式子有三個(gè)量，知二求一.恰好可以構(gòu)成以上三種運(yùn)算，所以引入運(yùn)算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對(duì) 的全面認(rèn)識(shí).此外作為一種運(yùn)算除了認(rèn)識(shí)運(yùn)算符號(hào)“ ”以外，更重要的是把握運(yùn)算法則，以便正確完成各種運(yùn)算，由于與指數(shù)在概念上相通，使得法則的推導(dǎo)應(yīng)借助指數(shù)運(yùn)算法則來完成，脫到過程又加深了指對(duì)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，自然應(yīng)成為本節(jié)的重點(diǎn)，特別予以關(guān)注.

運(yùn)算的符號(hào)的認(rèn)識(shí)與理解是學(xué)生認(rèn)識(shí)的一個(gè)障礙，其實(shí) 與+， 等符號(hào)一樣表示一種運(yùn)算，不過運(yùn)算的符號(hào)寫在前面，學(xué)生不習(xí)慣，所以在認(rèn)識(shí)上感到有些困難.

教法建議

（1）對(duì)于概念的學(xué)習(xí)，一定要緊緊抓住與指數(shù)之間的關(guān)系，首先從指數(shù)式中理解底數(shù) 和真數(shù) 的要求，其次對(duì)于的性質(zhì) 及零和負(fù)數(shù)沒有的理解也可以通過指數(shù)式來證明，驗(yàn)證.同時(shí)在關(guān)系的指導(dǎo)下完成指數(shù)式和式的互化.

（2）對(duì)于運(yùn)算法則的探究，對(duì)層次較高的學(xué)生可以采用“概念形成”的學(xué)習(xí)方式通過對(duì)具體例子的提出，讓形式的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，由特殊到一般歸納出法則，再利用指數(shù)式與式的關(guān)系完成證明，而其他法則的證明應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已證結(jié)論完成，強(qiáng)化“用數(shù)學(xué)”的意識(shí).

（3）對(duì)運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)，首先可以類比指數(shù)運(yùn)算法則對(duì)照記憶，其次強(qiáng)化法則使用的條件或者說成立的條件是保證左，右兩邊同時(shí)都有意義，因此要注意每一個(gè)式中字母的取值范圍.最后還要讓學(xué)生認(rèn)清運(yùn)算法則可使高一級(jí)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的運(yùn)算，這樣不僅加快了計(jì)算速度，也簡(jiǎn)化了計(jì)算方法，顯示了計(jì)算的優(yōu)越性.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

的運(yùn)算法則

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解并掌握性質(zhì)及運(yùn)算法則，能初步運(yùn)用的性質(zhì)和運(yùn)算法則解題.

2.通過法則的探究與推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思想，滲透化歸思想及邏輯思維能力.

3.通過法則探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.培養(yǎng)大膽探索，實(shí)事求是的科學(xué)精神.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

重點(diǎn)是的運(yùn)算法則及推導(dǎo)和應(yīng)用

難點(diǎn)是法則的探究與證明.

教學(xué)方法

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法

教學(xué)用具

投影儀

教學(xué)過程 

一.     引入新課   

我們前面學(xué)習(xí)了的概念，那么什么叫呢?通過下面的題目來回答這個(gè)問題.

如果看到 這個(gè)式子會(huì)有何聯(lián)想?

由學(xué)生回答(1) (2)  (3)   (4) .

也就要求學(xué)生以后看到符號(hào)能聯(lián)想四件事.從式子中，可以總結(jié)出從概念上講，與指數(shù)就是一碼事，從運(yùn)算上講它們互為逆運(yùn)算的關(guān)系.既然是一種運(yùn)算，自然就應(yīng)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，所以我們今天重點(diǎn)研究的運(yùn)算法則.

二.的運(yùn)算法則(板書)

與指數(shù)是互為逆運(yùn)算的，自然應(yīng)把握兩者的關(guān)系及已知的指數(shù)運(yùn)算法則來探求的運(yùn)算法則，所以我們有必要先回顧一下指數(shù)的運(yùn)算法則.

由學(xué)生回答后教師可用投影儀打出讓學(xué)生看： ， ， .

然后直接提出課題：若 是否成立?

   由學(xué)生討論并舉出實(shí)例說明其不成立(如可以舉 而 )，教師在肯定結(jié)論的正確性的同時(shí)再提出

可提示學(xué)生利用剛才的反例，把 5改寫成 應(yīng)為 ，而32=2 ，還可以讓學(xué)生再找?guī)讉�(gè)例子， .之后讓中國(guó)學(xué)習(xí)聯(lián)盟膽說出發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律?

由學(xué)生回答應(yīng)有 成立.

現(xiàn)在它只是一個(gè)猜想，要保證其對(duì)任意 都成立，需要給出相應(yīng)的證明，怎么證呢?你學(xué)過哪些與之相關(guān)的證明依據(jù)呢?

學(xué)生經(jīng)過思考后找出可以利用概念，性質(zhì)及與指數(shù)的關(guān)系，再找學(xué)生提出證明的基本思路，即問題先化成指數(shù)問題，再利用指數(shù)運(yùn)算法則求解.找學(xué)生試說證明過程，教師可適當(dāng)提示，然后板書.

證明：設(shè) 則 ，由指數(shù)運(yùn)算法則

得

，

即 .  (板書)

法則出來以后，要求學(xué)生能 從以下幾方面去認(rèn)識(shí)：

(1) 公式成立的條件是什么?(由學(xué)生指出.注意是每個(gè)真數(shù)都大于零，每個(gè)式都有意義為使用前提條件).

(2)能用文字語言敘述這條法則：兩個(gè)正數(shù)的積的等于這兩個(gè)正數(shù)的的和.

(3)若真數(shù)是三個(gè)正數(shù)，結(jié)果會(huì)怎樣?很容易可得 .

(條件同前)

(4)能否利用法則完成下面的運(yùn)算：

例1：計(jì)算

(1)    (2)     (3)

由學(xué)生口答答案后，總結(jié)法則從左到右使用運(yùn)算的級(jí)別降低了，從右到左運(yùn)算是升級(jí)運(yùn)算，要求運(yùn)算從雙向把握.然后提出新問題：

.

可由學(xué)生說出 .得到大家認(rèn)可后，再讓學(xué)生完成證明.

證明：設(shè) 則 ，由指數(shù)運(yùn)算法則得

.

教師在肯定其證明過程的同時(shí)，提出是否還有其它的證明方法?能否用上剛才的結(jié)論?

有的學(xué)生可能會(huì)提出把 看成 再用法則，但無法解決 計(jì)算問題，再引導(dǎo)學(xué)生如何回避 的問題.經(jīng)思考可以得到如下證法

.或證明如下

，再移項(xiàng)可得證.以上兩種證明方法都體現(xiàn)了化歸的思想，而且后面的證法中使用的拆分技巧“化減為加”也是會(huì)經(jīng)常用到的.最后板書法則2，并讓學(xué)生用文字語言敘述法則2.(兩個(gè)正數(shù)的商的等于這兩個(gè)正數(shù)的的差)

請(qǐng)學(xué)生完成下面的計(jì)算

(1)    (2) .

計(jì)算后再提出剛才沒有解決的問題即 并將其一般化改為 學(xué)生在說出結(jié)論的同時(shí)就可給出證明如下：

設(shè) 則 ， .教師還可讓學(xué)生思考是否還有其它證明方法，可在課下研究.

將三條法則寫在一起，用投影儀打出，并與指數(shù)的法則進(jìn)行對(duì)比.然后要求學(xué)生從以下幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)法則

(1) 了解法則的由來.(怎么證)

(2) 掌握法則的內(nèi)容.(用符號(hào)語言和文字語言敘述)

(3) 法則使用的條件.(使每一個(gè)都有意義)

(4) 法則的功能.(要求能正反使用)

三.鞏固練習(xí)

例2.計(jì)算

(1) (2) (3)  

(4) (5)         (6)

解答略

對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

例3.已知 ，用 的式子表示

(1) (2) （3) .

由學(xué)生上黑板寫出求解過程.

四.小結(jié)

1.運(yùn)算法則的內(nèi)容

2.運(yùn)算法則的推導(dǎo)與證明

3.運(yùn)算法則的使用

五.作業(yè) 略

六.板書設(shè)計(jì) 

試研究如下問題.

（1）已知 求證： 或

（2）若 都是正數(shù)且至少有一個(gè)不為1，且 ，則 之間的關(guān)系是_____________________.

答案：

（1）證明略

（2） 或 .