等差數列

教學目標 

1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.
（1）了解公差的概念，明確一個數列是的限定條件，能根據定義判斷一個數列是，了解等差中項的概念；
（2）正確認識使用的各種表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公差、項數、指定的項；
（3）能通過通項公式與圖像認識的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.
2.通過的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過通項公式的運用，滲透方程思想.
3.通過概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對的研究，使學生明確與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

關于的教學建議

（1）知識結構

（2）重點、難點分析

①教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.

②通過不完全歸納法得出的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

（3）教法建議

①本節內容分為兩課時，一節為的定義與表示法，一節為通項公式的應用.

②定義的引出可先給出幾組，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備.如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義.

③的定義歸納出來后，由學生舉一些的例子，以此讓學生思考確定一個的條件.

④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示，前提條件是已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應.

⑤有窮的末項與通項是有區別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點.

⑥前 項和的公式推導離不開的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣.

⑦是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境.

通項公式的教學設計示例

教學目標 

1.通過教與學的互動，使學生加深對通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2.利用通項公式求的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點 是對公式的靈活運用.

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

教學方法

研探式.

教學過程 

一.復習提問

前一節課我們學習了的概念、表示法，請同學們回憶的定義，其表示法都有哪些？

的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

二.主體設計

通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

1.方程思想的運用

（1）已知 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.

（2）已知 中，首項 ， 則公差

（3）已知 中，公差 ， 則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

2.基本量方法的使用

（1）已知 中， ，求 的值.

（2）已知 中， ， 求 .

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.

教師提出新的問題，已知的一個條件（等式），能否確定一個？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

如：已知 中， …

由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

類似的還有

（4）已知 中， 求 的值.

以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3.研究的單調性

，考察 隨項數 的變化規律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

4.研究項的符號

這是為研究前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？

（2） 從第________項起以后每項均為負數.

三.小結

1. 用方程思想認識通項公式；

2. 用函數思想解決問題.

四.板書設計