第一冊等差數列
§3.2.1等差數列
目的：1.要求學生掌握等差數列的概念
2.等差數列的通項公式，并能用來解決有關問題。
重點：1.要證明數列{an}為等差數列，只要證明an+1-an等于常數即可（這里n≥1,且n∈N*）
2.等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).
3.等到差中項：若a、A、b成等差數列，則A叫做a、b的等差中項，且
難點：等差數列“等差”的特點。公差是每一項（從第2項起）與它的前一項的關絕對不能把被減數與減數弄顛倒。
等差數列通項公式的含義。等差數列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數列的首項和公差已知，那么，這個等差數列就確定了。
過程：
一、引導觀察數列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
， ， ， ，……
12，9，6，3，……
特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數 — “等差”
二、得出等差數列的定義： （見P115）
注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數。
1.名稱：AP 首項 公差
2.若 則該數列為常數列
3.尋求等差數列的通項公式：
由此歸納為 當 時 （成立）
注意: 1° 等差數列的通項公式是關于 的一次函數
2° 如果通項公式是關于 的一次函數，則該數列成AP
證明：若
它是以 為首項， 為公差的AP。
3° 公式中若 則數列遞增， 則數列遞減
4° 圖象： 一條直線上的一群孤立點
三、例題： 注意在 中 ， ， ， 四數中已知三個可以
求出另一個。
例1 （P115例一）
例2 （P116例二） 注意：該題用方程組求參數
例3 （P116例三） 此題可以看成應用題
四、 關于等差中項： 如果 成AP 則
證明：設公差為 ，則
∴
例4 《教學與測試》P77 例一：在-1與7之間順次插入三個數 使這五個數成AP，求此數列。
解一：∵ ∴ 是-1與7 的等差中項
∴ 又是-1與3的等差中項
∴
又是1與7的等差中項 ∴
解二：設 ∴
∴所求的數列為-1，1，3，5，7
五、判斷一個數列是否成等差數列的常用方法
1.定義法：即證明
例5、已知數列 的前 項和 ，求證數列 成等差數列，并求其首項、公差、通項公式。
解：
當 時
時 亦滿足 ∴
首項
∴ 成AP且公差為6
2.中項法： 即利用中項公式，若 則 成AP。
例6 已知 ， ， 成AP，求證 ， ， 也成AP。
證明： ∵ ， ， 成AP
∴ 化簡得：
=
∴ ， ， 也成AP
3.通項公式法：利用等差數列得通項公式是關于 的一次函數這一性質。
例7 設數列 其前 項和 ，問這個數列成AP嗎？
解： 時 時
∵ ∴
∴ 數列 不成AP 但從第2項起成AP。
五、小結：等差數列的定義、通項公式、等差中項、等差數列的證明方法
六、作業 ： P118 習題3.2 1-9
七、練習：
1.已知等差數列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d （2）a5=20,a20=-35,寫出數列的通項公式及a100.
2.在數列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數列，并求出其公差。
注：不能只計算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等幾項等于常數就下結論為等差數列。
3.在1和101中間插入三個數，使它們和這兩個數組成等差數列，求插入的三個數。
4.在兩個等差數列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內相同項的個數。
分析：本題可采用兩種方法來解。
（1）用不定方程的求解方法來解。關鍵要從兩個不同的等差數列出發，根據
相同項，建立等式，結合整除性，尋找出相同項的通項。
（2）用等差數列的性質來求解。關鍵要抓住：兩個等差數列的相同項按原來的前后次序仍組成一個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數。
5.在數列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.證明數列是等
差數列，并求Sn。
分析：只要證明 (n≥2)為一個常數，只需將遞推公式中的an轉化
為Sn-Sn-1后再變形，便可達到目的。
6.已知數列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，則這個數列的第10項為（ ）
A 18 B 19 C 20 D21
7.已知等差數列{an}的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數列的公式為（ ）
A 2n-5 B 2n+1 C 2n-3 D 2n-1
8.已知m、p為常數，設命題甲：a、b、c成等差數列；命題乙：ma+p、 mb+p 、mc+p
成等差數列，那么甲是乙的（ ）
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件
C 充要條件 D既不必要也不充分條件
9.（1）若等差數列{an}滿足a5=b,a10=c(b≠c),則a15=
（2）首項為-12的等差數列從第8項開始為正數，則公差d的取值范圍是
（3）在正整數100至500之間能被11整除的整數的個數是
10.已知a5=11,a8=5,求等差數列{an}的通項公式。
11.設數列{an}的前n項Sn=n2+2n+4(n∈N*)
(1) 寫出這個數列的前三項a1,a2,a3;
(2) 證明：除去首項后所成的數列a2,a3,a4…是等差數列。
12.已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少個共同的項？
13.若關于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4個根可以組成首項為 的等到差數列，求a+b 的值。