指數

教學目標 

1.理解分數的概念，掌握有理冪的運算性質.
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性質，能根據性質進行相應的根式計算.
(2) 能認識到分數是概念由整數向有理數的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數冪的互化.
(3) 能利用有理運算性質簡化根式運算.
2.通過范圍的擴大，使學生能理解運算的本質，認識到知識之間的聯系和轉化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力.
3.通過對根式與分數冪的關系的認識，使學生能學會透過表面去認清事物的本質.

教學建議

教材分析

（1）本節的教學重點是分數冪的概念及其運算性質.教學難點 是根式的概念和分數冪的概念.

（2）由于分數冪的概念是借助  次方根給出的，而  次根式，  次方根又是學生剛剛接觸到的概念，也是比較陌生的.以此為基礎去學習認識新知識自然是比較困難的.且  次方根，分數冪的定義都是用抽象字母和符號的形式給出的，學生在接受理解上也是比較困難的.基于以上原因，根式和分數冪的概念成為本節應突破的難點.

（3）學習本節主要目的是將從整數推廣到有理數，為函數的研究作好準備.且有理冪具備的運算性質還可以推廣到無理冪，也就是說在運算上已將范圍推廣到了實數范圍，為對數運算的出現作好了準備，而使這些成為可能的就是分數冪的引入.

教法建議

（1）根式概念的引入是本節教學的關鍵.為了讓學生感到根式的學習是很自然也很必要的，不妨在設計時可以考慮以下幾點：

①先以具體數字為例，復習正整數冪，介紹各部分的名稱及運算的本質是乘方，讓它與學生熟悉的運算聯系起來，樹立起轉化的觀點.

②當復習負冪時，由于與乘除共同有關，所以出現了分式，這樣為分數冪的運算與根式相關作好準備.

③在引入根式時可先由學生知道的平方根和立方根入手，再大膽寫出 即誰的四次方根等于16.指出2和-2是它的四次方根后再把換成 ，寫成 即誰的 次方等于 ，在語言描述的同時，也把數學的符號語言自然的給出.

（2）在 次方根的定義中并沒有將 次方根符號化原因是結論的多樣性，不能亂表示，所以需要先研究規律，再把它符號化.按這樣的研究思路學生對 次方根的認識逐層遞進，直至找出運算上的規律.

教學設計示例

課題     根式

教學目標 ：

1.理解 次方根和 次根式的概念及其性質，能根據性質進行簡單的根式計算.

2.通過對根式的學習，使學生能進一步認清各種運算間的聯系，提高歸納，概括的能力.

3.通過對根式的化簡，使學生了解由特殊到一般的解決問題的方法，滲透分類討論的思想.

教學重點難點：

重點是 次方根的概念及其取值規律.

難點是 次方根的概念及其運算根據的研究.

教學用具：投影儀

教學方法：啟發探索式.

教學過程 ：

一.    復習引入

今天我們將學習新的一節.與其說它是一個概念，不如說它是一種重要的運算，且這種運算在初中曾經學習過，今天只不過把它進一步向前發展.

下面從我們熟悉的的復習開始.能舉一個具體的運算的例子嗎?

以 為例，是運算要求學生指明各部分的名稱，其中2稱為底數，4為， 稱為冪.

教師還可引導學生回顧運算的由來，是從乘方而來，因此最初只能是正整數，同時引出正整數冪的定義. .然后繼續引導學生回憶零冪和負整數冪的定義，分別寫出 及 ，同時追問這里 的由來.最后將三條放在一起，用投影儀打出整數冪的概念

2.5(板書)

1.       關于整數冪的復習

(1)    概念

既然是一種運算，除了定義之外，自然要給出它的運算規律，再來回顧一下關于整數冪的運算性質.可以找一個學生說出相應的運算性質，教師用投影儀依次打出： 

(2)    運算性質： ; ; .

復習后直接提出新課題，今天在此基礎上把從整數范圍推廣到分數范圍.在剛才的復習我們已經看到當在整數范圍內時，運算最多也就是與分式有關，如果推廣到分會與什么有關呢?應與根式有關.初中時雖然也學過一點根式，但不夠用，因此有必要先從根式說起.

2.       根式(板書)

我們知道根式來源于開方，開方是乘方的逆運算，所以談根式還是先從大家熟悉的乘方說起.

如

如果給出了4和2進行運算，那就是乘方運算.如果是知道了16和2，求4即 ，求?

問題也就是： 誰的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，這就是開方運算，且4和-4 有個名字叫16的平方根.

再如

知3和8，問題就是誰的立方是8?這就是開方運算，大家也知道結果為2，同時指出2叫做8的立方根.

(根據情況教師可再適當舉幾個例子，如 ，要求學生用語言描述式子的含義，I再說出結果分別為 和-2，同時指出它們分別稱為9的四次方根和-8的立方根)

在以上幾個式子會解釋的基礎上，提出 即一個數的 次方等于 ，求這個數，即開 次方，那么這個數叫做 的 次方根.

(1) 次方根的定義：如果一個數的 次方等于 ( ，那么這個數叫做 的 次方根.

   (板書)

對定義理解的第一步就是能把上述語言用數學符號表示，請同學們試試看.

由學生翻譯為：若 ( ，則 叫做 的 次方根.(把它補在定義的后面)

翻譯后教師在此基礎上再次提出翻譯的不夠徹底，如結論中的 的 次方根就沒有用符號表示，原因是什么?(如果學生不知從何入手，可引導學生回到剛才的幾個例子，在符號表示上存在的問題，并一起研究解決的辦法)最終把問題引向對 的 次方根的取值規律的研究.

(2) 的 次方根的取值規律： (板書)

先讓學生看到 的 次方根的個數是由 的奇偶性決定的，所以應對 分奇偶情況討論

當 為奇數時，再問學生 的 次方根是個什么樣的數，與誰有關，再提出對 的正負的討論，從而明確分類討論的標準，按 的正負分為三種情況.

Ⅰ當 為奇數時

， 的 次方根為一個正數;

， 的 次方根為一個負數;

， 的 次方根為零.      (板書)

當奇數情況討論完之后，再用幾個具體例子輔助說明 為偶數時的結論，再由學生總結歸納

Ⅱ當 為偶數時

， 的 次方根為兩個互為相反數的數;

， 的 次方根不存在;

， 的 次方根為零.

對于這個規律的總結，還可以先看 的正負，再分 的奇偶，換個角度加深理解.

有了這個規律之后，就可以用準確的數學符號去描述 次方根了.

(3)    的 次方根的符號表示 (板書)

可由學生試說一說，若學生說不好，教師可與學生一起總結，當 為奇數時，由于無論 為何值， 次方根都只有一個值，可用統一的符號 表示，此時要求學生解釋符號的含義： 為正數，則 為一個確定的正數， 為負數， 則 為一個確定的負數， 為零，則 為零.

當 為偶數時， 為正數時，有兩個值，而 只能表示其中一個且應表示是正的，另一個應與它互為相反數，故只需在前面放一個負號，寫成 ，其含義為 為偶數時，正數的 次方根有兩個分別為 和 .

為了加深對符號的認識，還可以提出這樣的問題： 一定表示一個正數嗎? 中的 一定是正數或非負數嗎?讓學生來回答，在回答中進一步認清符號的含義，再從另一個角度進行總結 .對于符號 ，當 為偶數是，它有意義的條件是 ;當 為奇數時，它有意義的條件時 .

把 稱為根式，其中 為根， 叫做被開方數.(板書)

(4)    根式運算的依據 (板書)

由于 是個數值，數值自然要進行運算，運算就要有根據，因此下面有必要進一步研究根式運算的依據.但我們并不過分展開，只研究一些最基本的最簡單的依據.

如 應該得什么?有學生講出理由，根據 次方根的定義，可得Ⅰ = .(板書)

再問： 應該得什么?也得 嗎?

若學生想不清楚，可用具體例子提示學生，如 嗎? 嗎?讓學生能發現結果與 有關，從而得到Ⅱ = .(板書)

為進一步熟悉這個運算依據，下面通過練習來體會一下.

三.鞏固練習

例1. 求值

(1) .      (2) .    

(3) .   (4) .

(5) .(

要求學生口答，并說出簡要步驟.

四.小結

1. 次方根與 次根式的概念

2.二者的區別

3.運算依據

五.作業   略

六.板書設計