指數(shù)

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解分?jǐn)?shù)的概念，掌握有理冪的運(yùn)算性質(zhì).
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算.
(2) 能認(rèn)識到分?jǐn)?shù)是概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)冪的互化.
(3) 能利用有理運(yùn)算性質(zhì)簡化根式運(yùn)算.
2.通過范圍的擴(kuò)大，使學(xué)生能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力.
3.通過對根式與分?jǐn)?shù)冪的關(guān)系的認(rèn)識，使學(xué)生能學(xué)會透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì).

教學(xué)建議

教材分析

（1）本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)冪的概念及其運(yùn)算性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn) 是根式的概念和分?jǐn)?shù)冪的概念.

（2）由于分?jǐn)?shù)冪的概念是借助  次方根給出的，而  次根式，  次方根又是學(xué)生剛剛接觸到的概念，也是比較陌生的.以此為基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)認(rèn)識新知識自然是比較困難的.且  次方根，分?jǐn)?shù)冪的定義都是用抽象字母和符號的形式給出的，學(xué)生在接受理解上也是比較困難的.基于以上原因，根式和分?jǐn)?shù)冪的概念成為本節(jié)應(yīng)突破的難點(diǎn).

（3）學(xué)習(xí)本節(jié)主要目的是將從整數(shù)推廣到有理數(shù)，為函數(shù)的研究作好準(zhǔn)備.且有理冪具備的運(yùn)算性質(zhì)還可以推廣到無理冪，也就是說在運(yùn)算上已將范圍推廣到了實(shí)數(shù)范圍，為對數(shù)運(yùn)算的出現(xiàn)作好了準(zhǔn)備，而使這些成為可能的就是分?jǐn)?shù)冪的引入.

教法建議

（1）根式概念的引入是本節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵.為了讓學(xué)生感到根式的學(xué)習(xí)是很自然也很必要的，不妨在設(shè)計(jì)時(shí)可以考慮以下幾點(diǎn)：

①先以具體數(shù)字為例，復(fù)習(xí)正整數(shù)冪，介紹各部分的名稱及運(yùn)算的本質(zhì)是乘方，讓它與學(xué)生熟悉的運(yùn)算聯(lián)系起來，樹立起轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).

②當(dāng)復(fù)習(xí)負(fù)冪時(shí)，由于與乘除共同有關(guān)，所以出現(xiàn)了分式，這樣為分?jǐn)?shù)冪的運(yùn)算與根式相關(guān)作好準(zhǔn)備.

③在引入根式時(shí)可先由學(xué)生知道的平方根和立方根入手，再大膽寫出 即誰的四次方根等于16.指出2和-2是它的四次方根后再把換成 ，寫成 即誰的 次方等于 ，在語言描述的同時(shí)，也把數(shù)學(xué)的符號語言自然的給出.

（2）在 次方根的定義中并沒有將 次方根符號化原因是結(jié)論的多樣性，不能亂表示，所以需要先研究規(guī)律，再把它符號化.按這樣的研究思路學(xué)生對 次方根的認(rèn)識逐層遞進(jìn)，直至找出運(yùn)算上的規(guī)律.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題     根式

教學(xué)目標(biāo) ：

1.理解 次方根和 次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行簡單的根式計(jì)算.

2.通過對根式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能進(jìn)一步認(rèn)清各種運(yùn)算間的聯(lián)系，提高歸納，概括的能力.

3.通過對根式的化簡，使學(xué)生了解由特殊到一般的解決問題的方法，滲透分類討論的思想.

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)是 次方根的概念及其取值規(guī)律.

難點(diǎn)是 次方根的概念及其運(yùn)算根據(jù)的研究.

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)探索式.

教學(xué)過程 ：

一.    復(fù)習(xí)引入

今天我們將學(xué)習(xí)新的一節(jié).與其說它是一個(gè)概念，不如說它是一種重要的運(yùn)算，且這種運(yùn)算在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過，今天只不過把它進(jìn)一步向前發(fā)展.

下面從我們熟悉的的復(fù)習(xí)開始.能舉一個(gè)具體的運(yùn)算的例子嗎?

以 為例，是運(yùn)算要求學(xué)生指明各部分的名稱，其中2稱為底數(shù)，4為， 稱為冪.

教師還可引導(dǎo)學(xué)生回顧運(yùn)算的由來，是從乘方而來，因此最初只能是正整數(shù)，同時(shí)引出正整數(shù)冪的定義. .然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回憶零冪和負(fù)整數(shù)冪的定義，分別寫出 及 ，同時(shí)追問這里 的由來.最后將三條放在一起，用投影儀打出整數(shù)冪的概念

2.5(板書)

1.       關(guān)于整數(shù)冪的復(fù)習(xí)

(1)    概念

既然是一種運(yùn)算，除了定義之外，自然要給出它的運(yùn)算規(guī)律，再來回顧一下關(guān)于整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).可以找一個(gè)學(xué)生說出相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)，教師用投影儀依次打出： 

(2)    運(yùn)算性質(zhì)： ; ; .

復(fù)習(xí)后直接提出新課題，今天在此基礎(chǔ)上把從整數(shù)范圍推廣到分?jǐn)?shù)范圍.在剛才的復(fù)習(xí)我們已經(jīng)看到當(dāng)在整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，運(yùn)算最多也就是與分式有關(guān)，如果推廣到分會與什么有關(guān)呢?應(yīng)與根式有關(guān).初中時(shí)雖然也學(xué)過一點(diǎn)根式，但不夠用，因此有必要先從根式說起.

2.       根式(板書)

我們知道根式來源于開方，開方是乘方的逆運(yùn)算，所以談根式還是先從大家熟悉的乘方說起.

如

如果給出了4和2進(jìn)行運(yùn)算，那就是乘方運(yùn)算.如果是知道了16和2，求4即 ，求?

問題也就是： 誰的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，這就是開方運(yùn)算，且4和-4 有個(gè)名字叫16的平方根.

再如

知3和8，問題就是誰的立方是8?這就是開方運(yùn)算，大家也知道結(jié)果為2，同時(shí)指出2叫做8的立方根.

(根據(jù)情況教師可再適當(dāng)舉幾個(gè)例子，如 ，要求學(xué)生用語言描述式子的含義，I再說出結(jié)果分別為 和-2，同時(shí)指出它們分別稱為9的四次方根和-8的立方根)

在以上幾個(gè)式子會解釋的基礎(chǔ)上，提出 即一個(gè)數(shù)的 次方等于 ，求這個(gè)數(shù)，即開 次方，那么這個(gè)數(shù)叫做 的 次方根.

(1) 次方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的 次方等于 ( ，那么這個(gè)數(shù)叫做 的 次方根.

   (板書)

對定義理解的第一步就是能把上述語言用數(shù)學(xué)符號表示，請同學(xué)們試試看.

由學(xué)生翻譯為：若 ( ，則 叫做 的 次方根.(把它補(bǔ)在定義的后面)

翻譯后教師在此基礎(chǔ)上再次提出翻譯的不夠徹底，如結(jié)論中的 的 次方根就沒有用符號表示，原因是什么?(如果學(xué)生不知從何入手，可引導(dǎo)學(xué)生回到剛才的幾個(gè)例子，在符號表示上存在的問題，并一起研究解決的辦法)最終把問題引向?qū)?SUB> 的 次方根的取值規(guī)律的研究.

(2) 的 次方根的取值規(guī)律： (板書)

先讓學(xué)生看到 的 次方根的個(gè)數(shù)是由 的奇偶性決定的，所以應(yīng)對 分奇偶情況討論

當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，再問學(xué)生 的 次方根是個(gè)什么樣的數(shù)，與誰有關(guān)，再提出對 的正負(fù)的討論，從而明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，按 的正負(fù)分為三種情況.

Ⅰ當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)

， 的 次方根為一個(gè)正數(shù);

， 的 次方根為一個(gè)負(fù)數(shù);

， 的 次方根為零.      (板書)

當(dāng)奇數(shù)情況討論完之后，再用幾個(gè)具體例子輔助說明 為偶數(shù)時(shí)的結(jié)論，再由學(xué)生總結(jié)歸納

Ⅱ當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)

， 的 次方根為兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù);

， 的 次方根不存在;

， 的 次方根為零.

對于這個(gè)規(guī)律的總結(jié)，還可以先看 的正負(fù)，再分 的奇偶，換個(gè)角度加深理解.

有了這個(gè)規(guī)律之后，就可以用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號去描述 次方根了.

(3)    的 次方根的符號表示 (板書)

可由學(xué)生試說一說，若學(xué)生說不好，教師可與學(xué)生一起總結(jié)，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，由于無論 為何值， 次方根都只有一個(gè)值，可用統(tǒng)一的符號 表示，此時(shí)要求學(xué)生解釋符號的含義： 為正數(shù)，則 為一個(gè)確定的正數(shù)， 為負(fù)數(shù)， 則 為一個(gè)確定的負(fù)數(shù)， 為零，則 為零.

當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 為正數(shù)時(shí)，有兩個(gè)值，而 只能表示其中一個(gè)且應(yīng)表示是正的，另一個(gè)應(yīng)與它互為相反數(shù)，故只需在前面放一個(gè)負(fù)號，寫成 ，其含義為 為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根有兩個(gè)分別為 和 .

為了加深對符號的認(rèn)識，還可以提出這樣的問題： 一定表示一個(gè)正數(shù)嗎? 中的 一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎?讓學(xué)生來回答，在回答中進(jìn)一步認(rèn)清符號的含義，再從另一個(gè)角度進(jìn)行總結(jié) .對于符號 ，當(dāng) 為偶數(shù)是，它有意義的條件是 ;當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，它有意義的條件時(shí) .

把 稱為根式，其中 為根， 叫做被開方數(shù).(板書)

(4)    根式運(yùn)算的依據(jù) (板書)

由于 是個(gè)數(shù)值，數(shù)值自然要進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算就要有根據(jù)，因此下面有必要進(jìn)一步研究根式運(yùn)算的依據(jù).但我們并不過分展開，只研究一些最基本的最簡單的依據(jù).

如 應(yīng)該得什么?有學(xué)生講出理由，根據(jù) 次方根的定義，可得Ⅰ = .(板書)

再問： 應(yīng)該得什么?也得 嗎?

若學(xué)生想不清楚，可用具體例子提示學(xué)生，如 嗎? 嗎?讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)結(jié)果與 有關(guān)，從而得到Ⅱ = .(板書)

為進(jìn)一步熟悉這個(gè)運(yùn)算依據(jù)，下面通過練習(xí)來體會一下.

三.鞏固練習(xí)

例1. 求值

(1) .      (2) .    

(3) .   (4) .

(5) .(

要求學(xué)生口答，并說出簡要步驟.

四.小結(jié)

1. 次方根與 次根式的概念

2.二者的區(qū)別

3.運(yùn)算依據(jù)

五.作業(yè)   略

六.板書設(shè)計(jì)