函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

教學目標 
1.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握有關(guān)證明和判斷的基本方法.
(1)了解并區(qū)分增函數(shù),減函數(shù),單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間,奇函數(shù),偶函數(shù)等概念.
(2)能從數(shù)和形兩個角度認識單調(diào)性和奇偶性.
(3)能借助圖象判斷一些函數(shù)的單調(diào)性,能利用定義證明某些函數(shù)的單調(diào)性;能用定義判斷某些函數(shù)的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數(shù)圖象的繪制過程.
2.通過函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學生在代數(shù)方面的推理論證能力;通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程,培養(yǎng)學生的觀察,歸納,抽象的能力,同時滲透數(shù)形結(jié)合,從特殊到一般的數(shù)學思想.
3.通過對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的理論研究,增學生對數(shù)學美的體驗,培養(yǎng)樂于求索的精神,形成科學,嚴謹?shù)难芯繎B(tài)度.

教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)

（1）函數(shù)單調(diào)性的概念。包括增函數(shù)、減函數(shù)的定義，單調(diào)區(qū)間的概念函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系.

（2）函數(shù)奇偶性的概念。包括奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性的判定方法，奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像.

二、重點難點分析

(1)本節(jié)教學的重點是函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領(lǐng)悟函數(shù)單調(diào)性, 奇偶性的本質(zhì),掌握單調(diào)性的證明.

(2)函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學生在初中所學函數(shù)中曾經(jīng)了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準確的數(shù)學語言去刻畫它.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調(diào)性的證明自然就是教學中的難點.

三、教法建議

（1）函數(shù)單調(diào)性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數(shù),,二次函數(shù).反比例函數(shù)圖象出發(fā),回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發(fā),通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設(shè)計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數(shù)值的關(guān)系的角度來解釋,引導學生發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的的變化規(guī)律,再把這種規(guī)律用數(shù)學語言表示出來.在這個過程中對一些關(guān)鍵的詞語(某個區(qū)間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結(jié)合起來.

（2）函數(shù)單調(diào)性證明的步驟是嚴格規(guī)定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目標,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應(yīng)有不同的變換目標為選題的標準,以便幫助學生總結(jié)規(guī)律.

函數(shù)的奇偶性概念引入時,可設(shè)計一個課件,以 的圖象為例,讓自變量互為相反數(shù),觀察對應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律,先從具體數(shù)值 開始,逐漸讓 在數(shù)軸上動起來,觀察任意性,再讓學生把看到的用數(shù)學表達式寫出來.經(jīng)歷了這樣的過程,再得到等式 時,就比較容易體會它代表的是無數(shù)多個等式,是個恒等式.關(guān)于定義域關(guān)于原點對稱的問題,也可借助課件將函數(shù)圖象進行多次改動,幫助學生發(fā)現(xiàn)定義域的對稱性,同時還可以借助圖象(如 )說明定義域關(guān)于原點對稱只是函數(shù)具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.

函數(shù)的奇偶性教學設(shè)計方案

教學目標 

1.使學生了解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成過程中,培養(yǎng)學生的觀察,歸納能力,同時滲透數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.

3.在學生感受數(shù)學美的同時,激發(fā)學習的興趣,培養(yǎng)學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

重點是奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷

難點是對概念的認識

教學用具

投影儀,計算機

教學方法

引導發(fā)現(xiàn)法

教學過程 

一. 引入新課

前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調(diào)性,它是反映函數(shù)在某一個區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質(zhì),今天我們繼續(xù)研究函數(shù)的另一個性質(zhì).從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數(shù)的性質(zhì).

對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數(shù)學中也能發(fā)現(xiàn)很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內(nèi)容中,特別是函數(shù)中有沒有對稱問題呢?

(學生可能會舉出一些數(shù)值上的對稱問題, 等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數(shù)具體化,如 和 等.)

結(jié)合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關(guān)于 軸對稱和關(guān)于原點對稱問題,而我們還曾研究過關(guān)于 軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數(shù)圖象關(guān)于 軸對稱的嗎?

學生經(jīng)過思考,能找出原因,由于函數(shù)是映射,一個 只能對一個 ,而不能有兩個不同的,故函數(shù)的圖象不可能關(guān)于 軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關(guān)于 軸對稱和關(guān)于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數(shù)值上的規(guī)律.

二. 講解新課

2.函數(shù)的奇偶性(板書)

教師從剛才的圖象中選出 ,用計算機打出,指出這是關(guān)于 軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關(guān)于 軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這種特征體現(xiàn)在自變量與函數(shù)值之間有何規(guī)律?

學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數(shù),函數(shù)值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數(shù)學符號表示.(借助課件演示令 比較 得出等式 ,再令 ,得到 ,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內(nèi)存在 ,使 與 不等呢?(可用課件幫助演示讓 動起來觀察,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,這樣的 是不存在的)

從這個結(jié)論中就可以發(fā)現(xiàn)對定義域內(nèi)任意一個 ,都有 成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調(diào)整.

(1) 偶函數(shù)的定義:如果對于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個 ,都有 ,那么 就叫做偶函數(shù).(板書)

(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如 等以檢驗一下對概念的初步認識)

提出新問題:函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)值規(guī)律是什么呢?(同時打出 或 的圖象讓學生觀察研究)

學生可類比剛才的方法,很快得出結(jié)論,再讓學生給出奇函數(shù)的定義.

(2) 奇函數(shù)的定義: 如果對于函數(shù) 的定義域內(nèi)任意一個 ,都有 ,那么 就叫做奇函數(shù).(板書)

(由于在定義形成時已經(jīng)有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

例1.  判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

(1) ;              (2) ;

  (3) ; ;

(5) ;  (6) .

(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

解: (1) 是奇函數(shù).(2) 是偶函數(shù). 

(3) , 是偶函數(shù).

前三個題做完,教師做一次小結(jié),判斷奇偶性,只需驗證 與 之間的關(guān)系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數(shù)的問題呢?

學生經(jīng)過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數(shù).(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)

從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的 = 不能經(jīng)受任意性的考驗,當 時,由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么?(若學生發(fā)現(xiàn)不了定義域的特征,教師可再從定義啟發(fā),在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發(fā)現(xiàn)定義域應(yīng)關(guān)于原點對稱,再提出定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的什么條件?

可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結(jié)論.

(3) 定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

由學生小結(jié)判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數(shù)中有是奇函數(shù)不是偶函數(shù),有是偶函數(shù)不是奇函數(shù),也有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),那么有沒有這樣的函數(shù),它既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)呢?若有,舉例說明.

經(jīng)學生思考,可找到函數(shù) .然后繼續(xù)提問:是不是具備這樣性質(zhì)的函數(shù)的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2.  已知函數(shù) 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證: .(板書)   (試由學生來完成)

證明: 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),

= ,且 ,

= .

,即 .

證后,教師請學生記住結(jié)論的同時,追問這樣的函數(shù)應(yīng)有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經(jīng)教師提示可發(fā)現(xiàn), 只是解析式的特征,若改變函數(shù)的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數(shù),但它們都是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).由上可知函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類

(4) 函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)

例3.  判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)

(1) ;       (2) ;   (3) .

由學生回答,不完整之處教師補充.

解: (1)當 時, 為奇函數(shù),當 時, 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)當 時, 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),當 時, 是偶函數(shù).

(3) 當 時, 于是 ,

當 時, ,于是 = ,

綜上 是奇函數(shù).

教師小結(jié) (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數(shù),當 檢驗 ,并不能說明 具備奇偶性,因為奇偶性是對函數(shù)整個定義域內(nèi)性質(zhì)的刻畫,因此必須 均有 成立,二者缺一不可.

三. 小結(jié)

1. 奇偶性的概念

2. 判斷中注意的問題

四. 作業(yè)  略

五. 板書設(shè)計 

設(shè) 為三角形的三條邊,求證: .