函 數(shù) 對(duì) 稱 性 的 探 究
③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對(duì)稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③ 設(shè)點(diǎn)p(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)。記點(diǎn)p( x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為p‘（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點(diǎn)p‘（x1， y1）在函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上。同理可證：函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。三、 三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表函 數(shù)
對(duì)稱中心坐標(biāo)
對(duì)稱軸方程
y = sin x
( kπ, 0 )
x = kπ+π/2
y = cos x
( kπ+π/2 ,0 )
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ,0 )
無注：①上表中k∈z②y = tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)應(yīng)該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案（修訂版）中都認(rèn)為y = tan x的所有對(duì)稱中心坐標(biāo)是( kπ, 0 )，這明顯是錯(cuò)的。四、 函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例例1：定義在r上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）(a)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (b)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (c)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (d)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， ∴x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(a) 例2：設(shè)定義域?yàn)閞的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （a） 1999； （b）； （c）；（d）。 解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，∴y = g-1(x－2) 反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=故f(4) = ,應(yīng)選（c）例3.設(shè)f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）解：∵f(x)是定義在r上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對(duì)稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例4.函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）(92全國(guó)高考理) (a) x = － (b) x = － (c) x = (d) x =