函 數(shù) 對 稱 性 的 探 究
紹興縣越崎中學數(shù)學組 徐民江
函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學的基礎。函數(shù)的性質(zhì)是競賽和高考的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關的性質(zhì)。一、 函數(shù)自身的對稱性探究定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關于點a (a ,b)對稱的充要條件是 f (x) + f (2a－x) = 2b證明：（必要性）設點p(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點p( x ,y)關于點a (a ,b)的對稱點p‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。（充分性）設點p(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故點p‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點p與點p‘關于點a (a ,b)對稱，充分性得征。推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于原點o對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于點a (a ,c)和點b (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。 ②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。③若函數(shù)y = f (x)圖像既關于點a (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：∵函數(shù)y = f (x)圖像既關于點a (a ,c) 成中心對稱，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。二、 不同函數(shù)對稱性的探究定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點a (a ,b)成中心對稱。定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。