復數的有關概念

教學目標 

（1）掌握，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。
（2）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；
（3）理解復數的幾何意義，初步掌握復數集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。
（4）培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力.

教學建議

（一）教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念.

2、重點、難點分析

（1）正確復數的實部與虛部

對于復數 ，實部是 ，虛部是 .注意在說復數 時，一定有 ，否則，不能說實部是 ，虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。

說明：對于復數的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

（2）正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：

注意分清復數分類中的界限：

①設 ，則 為實數

② 為虛數

③ 且 。

④ 為純虛數 且

（3）不能亂用復數相等的條件解題.用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式

       ②實部、虛部中的字母為實數，即

（4）在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數 都可以由一個有序實數對( )唯一確定.這就是說，復數的實質是有序實數對.一些書上就是把實數對( )叫做復數的.

②復數 用復平面內的點Z( )表示.復平面內的點Z的坐標是( )，而不是( )，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 .由于 =0＋1· ，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位 ，或者 就是縱軸的單位長度.

③當 時，對任何 ， 是純虛數，所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數.但當 時， 是實數.所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.

④復數z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫.要學生注意.

（5）關于共軛復數的概念

設 ，則 ，即 與 的實部相等，虛部互為相反數（不能認為 與 或 是共軛復數）.

教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復數.當 時， 與 互為共軛虛數.可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行.

（6）復數能否比較大小

教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據兩個復數相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 .兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小.

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：

(i)對于任意兩個實數a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc.(不必向學生講解)

（二）教法建議

1.要注意知識的連續性：復數 是二維數，其幾何意義是一個點 ，因而注意與平面解析幾何的聯系.

2.注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想.

3.注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答.

教學目標 

1.了解復數的實部，虛部；

2.掌握復數相等的意義；

3.了解并掌握共軛復數，及在復平面內表示復數.

教學重點

復數的概念，復數相等的充要條件.

教學難點 

用復平面內的點表示復數M.

教學用具：直尺

課時安排：1課時

教學過程 ：

一、復習提問：

1.復數的定義。

2.虛數單位。

二、講授新課

1.復數的實部和虛部：

復數 中的a與b分別叫做復數的實部和虛部。

2.復數相等

如果兩個復數 與 的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數相等。

即： 的充要條件是 且 。

例如：   的充要條件是 且 。

例1： 已知   其中 ，求x與y.

解：根據復數相等的意義，得方程組：

∴

例2：m是什么實數時，復數 ,

(1)    是實數，(2)是虛數，（3）是純虛數.

解：

(1) ∵ 時，z是實數,

       ∴ ,或 .

(2)    ∵ 時，z是虛數,

 ∴ ，且

(3)    ∵ 且 時，

z是純虛數. ∴

3.用復平面（高斯平面）內的點表示復數

復平面的定義

建立了直角坐標系表示復數的平面，叫做復平面.

復數 可用點 來表示.（如圖）其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上.

4.復數的幾何意義：

復數集c和復平面所有的點的集合是一一對應的.

5.共軛復數

（1）當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。（虛部不為零也叫做互為共軛復數）

（2）復數z的共軛復數用 表示.若 ，則： ；

（3）實數a的共軛復數仍是a本身，純虛數的共軛復數是它的相反數.

（4）復平面內表示兩個共軛復數的點z與 關于實軸對稱.

三、練習   1,2,3,4.

四、小結：

1.在理解時應注意：

（1）明確什么是復數的實部與虛部；

（2）弄清實數、虛數、純虛數分別對實部與虛部的要求；

（3）弄清復平面與復數的幾何意義；

（4）兩個復數不全是實數就不能比較大小。

2.復數集與復平面上的點注意事項：

（1）復數 中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。

（2）復平面內的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

（3）表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。

（4）復數集C和復平面內所有的點組成的集合一一對應：

五、作業    1,2,3,4,

六、板書設計 ：