復(fù)數(shù)的向量表示

教學(xué)目標(biāo) 

（1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（3）掌握復(fù)數(shù)的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，幫助學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維習(xí)慣和方法.

 
 教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，指出了復(fù)數(shù)的模的定義及其計(jì)算公式.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解；難點(diǎn)是復(fù)數(shù)模的概念.復(fù)數(shù)可以用向量表示，二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為什么只能說復(fù)數(shù)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的集合一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不能說與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，對(duì)這一點(diǎn)的理解要加以重視.在復(fù)數(shù)向量的表示中，從復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).復(fù)數(shù)模的概念是一個(gè)難點(diǎn)，首先要理解復(fù)數(shù)的絕對(duì)值與實(shí)數(shù)絕對(duì)值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長(zhǎng)度，也就是復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

三、教學(xué)建議

1.在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識(shí)，包括實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及幾何意義，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識(shí)等，特別是對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這一環(huán)節(jié)不可忽視.

2.理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合三者之間的關(guān)系

如圖所示，建立復(fù)平面以后，復(fù)數(shù) 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而點(diǎn) 又與復(fù)平面的向量 構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，復(fù)數(shù)集 與復(fù)平面的以 為起點(diǎn)，以 為終點(diǎn)的向量集 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，我們常把復(fù)數(shù) 說成點(diǎn)Z或說成向量 .點(diǎn) 、向量 是復(fù)數(shù) 的另外兩種表示形式，它們都是復(fù)數(shù) 的幾何表示.
相等的向量對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與向量 相等的向量有無窮多個(gè)，所以復(fù)數(shù)集不能與復(fù)平面上所有的向量相成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系.復(fù)數(shù)集只能與復(fù)平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2.

這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復(fù)數(shù)問題，或用復(fù)數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件.

3.向量的模，又叫向量的絕對(duì)值，也就是其有向線段的長(zhǎng)度.它的計(jì)算公式是 ，當(dāng)實(shí)部為零時(shí)，根據(jù)上面復(fù)數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實(shí)數(shù)絕對(duì)值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致.這些內(nèi)容必須使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握.

4.講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議.在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時(shí).如果結(jié)合提問 的圖形，可以幫助學(xué)生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）.對(duì)于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時(shí)周界（兩個(gè)同心圓）都應(yīng)畫成虛線.

5.講解復(fù)數(shù)的模.講復(fù)數(shù)的模的定義和計(jì)算公式時(shí)，要注意與向量的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系，結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對(duì)值，也就是有向線段OZ的長(zhǎng)度 .它也叫做復(fù)數(shù) 的模或絕對(duì)值.它的計(jì)算公式是 .

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目的

1掌握 ，復(fù)數(shù)模的概念及求法，復(fù)數(shù)模的幾何意義.
2 通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù).
3培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義思想.

重點(diǎn)難點(diǎn)

復(fù)數(shù)向量的表示及復(fù)數(shù)模的概念.

教學(xué)學(xué)具

投影儀

教學(xué)過程 

1復(fù)習(xí)提問：向量的概念；模；復(fù)平面.
2新課：

一、：

在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z（a，b）為終點(diǎn)的向量OZ，由點(diǎn)Z（a，b）唯一確定.

因此復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與復(fù)數(shù)集C之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).

常把復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z（a，b）或說成向量OZ，并規(guī)定相等向量表示同一復(fù)數(shù).

二、復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模（即有向線段OZ的長(zhǎng)度）叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對(duì)值）記作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b    

例1  求復(fù)數(shù)z₁=3+4i及z₂=-1+2i的模，并比較它們的大小.

解：∵|Z₁|²=3²+4²=25     |Z₂|²=（-1）²+2²=5

∴|Z₁|＞|Z₂|

練習(xí)： 1已知z₁=1+3i  z₂=-2i  Z₃=4   Z₄=-1+2i

⑴在復(fù)平面內(nèi)，描出表示這些向量的點(diǎn)，畫出向量.

⑵計(jì)算它們的模.    

三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

復(fù)數(shù)Z=a+bi，當(dāng)b=0時(shí)z∈R |Z|=|a|即a在實(shí)數(shù)意義上的絕對(duì)值復(fù)數(shù)模可看作點(diǎn)Z（a，b）到原點(diǎn)的距離.

例2  設(shè)Z∈C滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

⑴ |Z|=4    ⑵  2≤|Z|＜4

解：（略）

練習(xí)：⑴ 模等于4的虛數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集             .

⑵  比較復(fù)數(shù)z₁=－5+12i    z₂=―6―6i的模的大小.

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡.

教學(xué)后記：

板書設(shè)計(jì) ：    

一、：        三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

二、復(fù)數(shù)的模                   例2

例1             

探究活動(dòng)

已知 要使 ，還要增加什么條件？

解：要使 ，即 由此可知，點(diǎn) 到兩個(gè)定點(diǎn) 和 的距離之和為6 ，如把看成動(dòng)點(diǎn)，則它的軌跡是橢圓 .

因此，所要增加的條件是：點(diǎn) 應(yīng)滿足條件 .

說明 此題是屬于缺少條件的探索性問題，解決這類問題的一般做法是從結(jié)論出發(fā)，并采用逆推的方法得出終結(jié)的結(jié)論，便理所求的條件.