兩條直線的位置關系（通用8篇）

兩條直線的位置關系 篇1

　　(2)夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角,它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角,它與 到 的角是不同的,假如設前者是 ,后者是 ,則 + = . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角,夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時,則 和 的夾角也是 ;當 到 的角為鈍角 時,則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時,應注重分析圖形的幾何性質,找出 與 , 的傾斜角 , 關系,得出 或 ,然后由 , 聯想差角的正切公式,便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示,推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系,而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法,是解析幾何的基本方法,要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式,在解決實際問題時,要注重根據具體情況選用.

　　(3)交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題,這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內,兩條直線有三種位置關系:相交、平行、重合,相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況:有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時,利用直線的斜率和截距更方便.若 , ,則:

　　與 相交 ;

　　且 ;

　　與 重合 且 .

　　(4)點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式,推導出點到直線的距離公式.在推導過程中,把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算,轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算,從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線

　　課題:點到直線的距離

　　教學目標:(1)理解點到直線距離公式的推導過程.

　　(2)會求點到直線的距離.

　　(3)在探索點到直線距離公式推導思路的過程中,培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具:計算機

　　教學方法:啟發引導法,討論法

　　教學過程:

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線, 與垂足 之間的長度

　　問題1已知點 (1,2)和直線 : ,求 點到直線 的距離.

　　(由學生分析、解答)

　　分析:先求出過 點和 垂直的直線:

　　: ,再求出 和 的交點

　　∴

　　假如把問題1一般化就有如下問題:

　　問題2已知: 和直線 : ( 不在直線 上,且 , ),試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1:要求 的長度可以象問題1的解法一樣,利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知,∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即: ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　(這一解法在課前由學生自學完成,課上進行評價總結)

　　解:在直線 上任取一點,如 ,則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此, = =

　　問題3

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢?求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解:在直線上 任取一點,如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離,(如圖2).

　　因此, = =

　　注重:用公式時,注重一次項系數是否一致.

　　四、小結作業

　　1、點到直線的距離公式及其推導;

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程:

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業:p54 13、14、16思考研究:運用多種方法推導點到直線的距離公式.

　　探究活動

　　研究性學習

　　點到直線距離公式是本節的重點和難點之一,公式的推導歷來是探索的重點.教材上的第二種方法較傳統已有不少改進,但運用向量的理論研究兩條直線的位置關系的新思想在這一問題上沒有體現,而運用向量理論推導點到直線的距離公式又是可行的,因此嘗試用向量推導距離公式是很有意義的.為此設計如下研究性題目:

　　試用向量的理論推導(或證實)點到直線的距離公式.

　　簡要思路:

　　首先規定直線的法向量.設直線 的方程為 , 是 上任意一點,則 的方程可表示為 的形式.由向量內積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量,我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導點到直線的距離公式.設 是直線 : 外的一點, 是 上的任一點, 垂直 于 .則所求為 .如圖5,不妨l的法向量到 的角為 ,則不論 為銳角還是鈍角,

兩條直線的位置關系 篇2

　　教學目標 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標.

　　（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用.

　　（5）進一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法.

　　（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法.

　　教學建議

　　一、教材分析

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離.

　　難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導.

　　本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個為0，另一個不存在.

　　（2）夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用.

　　（3）交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式.在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

　　如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當 時，上述公式也成立.

　　（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導.如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式.

　　2.本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導.

　　3.本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上.本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力.本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學.

　　4.不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系.

　　6.在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力.

　　7.本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　教學設計方案

　　課題：點到直線的距離

　　教學目標 ：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.

　　（2）會求點到直線的距離.

　　（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

　　【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離.

　　（由學生分析、解答）

　　分析：先求出過 點和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點

　　∴

　　如果把問題1一般化就有如下問題：

　　【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）

　　問：這種解法好不好，為什么?

　　根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出

　　分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據三角形面積公式：

　　所以： （至此問題2已經解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗證（由學生完成）：

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 點在 上時，公式成立.

　　公式 結構特點

　　師生一起總結：

　　（1）分子是 點坐標代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長

　　三、檢測與鞏固

　　練習1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點，如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時，注意一次項系數是否一致.

　　四、小結作業 

　　1、點到直線的距離公式及其推導；

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業 ：P54  13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式.

兩條直線的位置關系 篇3

　　教學目標 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標.

　　（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用.

　　（5）進一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法.

　　（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法.

　　教學建議

　　一、教材分析

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離.

　　難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導.

　　本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個為0，另一個不存在.

　　（2）夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用.

　　（3）交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式.在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

　　如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當 時，上述公式也成立.

　　（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導.如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式.

　　2.本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導.

　　3.本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上.本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力.本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學.

　　4.不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系.

　　6.在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力.

　　7.本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　教學設計方案

　　課題：點到直線的距離

　　教學目標 ：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.

　　（2）會求點到直線的距離.

　　（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

　　【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離.

　　（由學生分析、解答）

　　分析：先求出過 點和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點

　　∴

　　如果把問題1一般化就有如下問題：

　　【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）

　　問：這種解法好不好，為什么?

　　根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出

　　分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據三角形面積公式：

　　所以： （至此問題2已經解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗證（由學生完成）：

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 點在 上時，公式成立.

　　公式 結構特點

　　師生一起總結：

　　（1）分子是 點坐標代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長

　　三、檢測與鞏固

　　練習1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點，如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時，注意一次項系數是否一致.

　　四、小結作業 

　　1、點到直線的距離公式及其推導；

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業 ：P54  13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式.

兩條直線的位置關系 篇4

　　教學目標

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標.

　　（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用.

　　（5）進一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法.

　　（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法.

　　教學建議

　　一、教材分析

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離.

　　難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導.

　　本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個為0，另一個不存在.

　　（2）夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用.

　　（3）交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式.在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

　　如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當 時，上述公式也成立.

　　（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導.如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式.

　　2.本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導.

　　3.本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上.本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力.本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學.

　　4.不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系.

　　6.在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力.

　　7.本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　教學設計方案

　　課題：點到直線的距離

　　教學目標：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.

　　（2）會求點到直線的距離.

　　（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程：

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

　　【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離.

　　（由學生分析、解答）

　　分析：先求出過 點和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點

　　∴

　　如果把問題1一般化就有如下問題：

　　【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）

　　問：這種解法好不好，為什么?

　　根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出

　　分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據三角形面積公式：

　　所以： （至此問題2已經解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗證（由學生完成）：

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 點在 上時，公式成立.

　　公式 結構特點

　　師生一起總結：

　　（1）分子是 點坐標代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長

　　三、檢測與鞏固

　　練習1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點，如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時，注意一次項系數是否一致.

　　四、小結作業 

　　1、點到直線的距離公式及其推導；

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業 ：P54  13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式.

　　探究活動

　　研究性學習

　　點到直線距離公式是本節的重點和難點之一，公式的推導歷來是探索的重點.教材上的第二種方法較傳統已有不少改進，但運用向量的理論研究的新思想在這一問題上沒有體現，而運用向量理論推導點到直線的距離公式又是可行的，因此嘗試用向量推導距離公式是很有意義的.為此設計如下研究性題目：

　　試用向量的理論推導（或證明）點到直線的距離公式.

　　簡要思路：

　　首先規定直線的法向量.設直線 的方程為 ， 是 上任意一點，則 的方程可表示為 的形式.由向量內積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量，我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導點到直線的距離公式.設 是直線 ： 外的一點， 是 上的任一點， 垂直 于 .則所求為 .如圖5，不妨l的法向量到 的角為 ，則不論 為銳角還是鈍角，總有 ，因為：

　　此文章共有2頁  第 1 2 頁  

兩條直線的位置關系 篇5

　　教學目標 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標.

　　（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用.

　　（5）進一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法.

　　（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法.

　　教學建議

　　一、教材分析

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離.

　　難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導.

　　本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個為0，另一個不存在.

　　（2）夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用.

　　（3）交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式.在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

　　如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當 時，上述公式也成立.

　　（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導.如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式.

　　2.本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導.

　　3.本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上.本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力.本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學.

　　4.不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系.

　　6.在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力.

　　7.本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　教學設計方案

　　課題：點到直線的距離

　　教學目標 ：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.

　　（2）會求點到直線的距離.

　　（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

　　【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離.

　　（由學生分析、解答）

　　分析：先求出過 點和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點

　　∴

　　如果把問題1一般化就有如下問題：

　　【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）

　　問：這種解法好不好，為什么?

　　根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出

　　分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據三角形面積公式：

　　所以： （至此問題2已經解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗證（由學生完成）：

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 點在 上時，公式成立.

　　公式 結構特點

　　師生一起總結：

　　（1）分子是 點坐標代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長

　　三、檢測與鞏固

　　練習1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點，如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時，注意一次項系數是否一致.

　　四、小結作業 

　　1、點到直線的距離公式及其推導；

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業 ：P54  13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式.

兩條直線的位置關系 篇6

　　教學目標

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據兩條直線的方程求出它們的交點坐標.

　　（4）掌握點到直線距離公式的推導和應用.

　　（5）進一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關系的思想方法.

　　（7）通過點到直線距離公式的多種推導方法的探求，培養學生發散思維能力，理解數形結合的思想方法.

　　教學建議

　　一、教材分析

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離.

　　難點是兩條直線垂直條件的推導；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導.

　　本節內容與后邊內容聯系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據傾斜角與斜率的對應關系，將初中學過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質定理）轉化為坐標系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學中應注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個為0，另一個不存在.

　　（2）夾角

　　①應正確區分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉到與 重合時所轉的角，它與 到 的角是不同的，如果設前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時，應注意分析圖形的幾何性質，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關系，得出 或 ，然后由 ， 聯想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質轉化為坐標語言來表示，推導出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關系，而得出夾角計算公式

　　這種把“形”轉化為“數”的方法，是解析幾何的基本方法，要認真揣摩.

　　③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據具體情況選用.

　　（3）交點

　　①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

　　②在同一平面內，兩條直線有三種位置關系：相交、平行、重合，相應的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點到直線的距離

　　①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導出點到直線的距離公式.在推導過程中，把與兩條坐標軸都不平行的線段的長度的計算，轉化為與坐標軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程.

　　②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點到直線距離公式的推導，有多種方法，應鼓勵同學們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

　　如右圖，設 ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當 時，上述公式也成立.

　　（5）當直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結論，這時可結合圖形幾何性質；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節知識與初中所學的平面幾何知識和三角知識聯系非常緊密，教學時應加強啟發和引導.如學生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應引導學生迅速建立聯系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據圖形中角的關系，建立 與傾斜角 和 的聯系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關系，得出公式.

　　2.本節內容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學中應注意向量工具的運用，可讓學生嘗試用向量推導兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導.

　　3.本節內容新概念不多，但要求推導的內容不少，教學時要堅持啟發式的教學思想，重點放在思路的探求和結論或公式的運用上.本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能熟練地掌握公式，增強學生動手計算的能力.本節還要加強根據已知條件求直線方程的教學.

　　4.不僅要使學生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據直線方程系數求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數與位置關系之間的關系.

　　6.在學習點到直線距離公式時，可利用課余時間發動學生尋找更多的推導公式的方法，并通過尋找多種推導公式的方法，鍛煉思維，培養能力.

　　7.本節學完以后學生可以解決很多較復雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學中應適當安排一些這樣的內容，以訓練學生思維和培養學生分析問題、解決問題的能力.

　　教學設計方案

　　課題：點到直線的距離

　　教學目標：（1）理解點到直線距離公式的推導過程.

　　（2）會求點到直線的距離.

　　（3）在探索點到直線距離公式推導思路的過程中，培養學生發散思維、積極探索的精神.

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程：

　　一、引入

　　點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

　　【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離.

　　（由學生分析、解答）

　　分析：先求出過 點和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點

　　∴

　　如果把問題1一般化就有如下問題：

　　【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離.

　　二、點到直線距離

　　分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度.

　　∵ 點坐標已知，∴只要求出 點坐標就可以了.

　　又∵ 點是直線 和直線 的交點

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點坐標←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學生自學完成，課上進行評價總結）

　　問：這種解法好不好，為什么?

　　根據學生討論，教師適時啟發、引導，得出

　　分析2：如果 垂直坐標軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設 到直線的距離為 ， 坐標為 ， 坐標為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據三角形面積公式：

　　所以： （至此問題2已經解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗證（由學生完成）：

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 ，即 軸時，公式成立；

　　當 點在 上時，公式成立.

　　公式 結構特點

　　師生一起總結：

　　（1）分子是 點坐標代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數 、 系數平方和的算術根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長

　　三、檢測與鞏固

　　練習1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點，如

　　則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時，注意一次項系數是否一致.

　　四、小結作業 

　　1、點到直線的距離公式及其推導；

　　師生一起總結點到直線距離公式的推導過程：

　　2、利用公式求點到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業 ：P54  13、14、16思考研究：運用多種方法推導點到直線的距離公式.

　　探究活動

　　研究性學習

　　點到直線距離公式是本節的重點和難點之一，公式的推導歷來是探索的重點.教材上的第二種方法較傳統已有不少改進，但運用向量的理論研究的新思想在這一問題上沒有體現，而運用向量理論推導點到直線的距離公式又是可行的，因此嘗試用向量推導距離公式是很有意義的.為此設計如下研究性題目：

　　試用向量的理論推導（或證明）點到直線的距離公式.

　　簡要思路：

　　首先規定直線的法向量.設直線 的方程為 ， 是 上任意一點，則 的方程可表示為 的形式.由向量內積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量，我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導點到直線的距離公式.設 是直線 ： 外的一點， 是 上的任一點， 垂直 于 .則所求為 .如圖5，不妨l的法向量到 的角為 ，則不論 為銳角還是鈍角，總有 ，因為：

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兩條直線的位置關系 篇7

　　教學目標：

　　1.在作圖、分類、辨析的活動中，了解兩條直線的位置關系，理解在同一平面內兩條直線的特殊的位置關系-----平行、垂直。

　　2.在辨析與理解知識的過程中，初步建立平行與垂直的空間觀念，培養學生的空間想象能力。

　　3.在合作與探究的過程中，培養學生的主動探究與自主學習的意識。

　　教學重點：

　　在作圖、分類、辨析的活動中，理解兩條直線的兩種特殊位置關系。

　　教學難點：

　　在合作、探究、辨析的過程中理解垂直和平行的意義。

　　教學準備：

　　課件、題紙、三角板、小棒、記號筆

　　教學過程：

　　一、借助回顧舊知，引出新知。

　　（一）對一條線的相關知識的回顧。

　　1.課件出示，回顧舊知。

　　（1）出示（線段）。

　　監控問題：這是（線段）。誰還記得它有什么特點？

　　（生：線段有兩個端點，可以測量）

　　（2）將線段的一端延長，成為射線。

　　監控問題：現在呢？（射線），它有什么特點？

　　（生：射線可以向一端無限延長，不能測量）

　　課件操作：將射線還原成線段，再延長線段的另一端。

　　監控問題：：它也是（射線）

　　（3）將射線還原成線段，同時延長線段的兩端，成為直線。

　　監控問題：這是（直線）它的特點是什么來著？（直線沒有端點，不可以測量。）

　　2.歸納：在這幅圖上，你都能找到哪些我們學過的線？來給大家說一說，指一指。

　　看來，線段和射線都是直線的一部分。

　　（二）揭示課題：剛才，我們一起回憶了有關一條直線的知識。如果在這個屏幕上畫兩條直線，會是怎樣的位置關系呢？這就是咱們今天研究的內容。（板書課題：兩條直線的位置關系）

　　【設計意圖：通過與學生的談話，將舊知進行了復習，從而很自然地引出新知。】

　　二、借助分類、學生辨析，了解兩條直線的位置關系。

　　（一）自主探究兩條直線的位置關系

　　1. 請大家想像一下兩條直線會是怎樣的位置關系呢，畫在紙上，也可以借助手中的小棒，先擺一擺，再畫下來。每張紙上只畫出一種，畫大點讓大家都看得見。你能想出幾種就擺幾種，就畫幾種。開始！

　　2.學生動手操作，教師巡視，搜集資源。

　　監控：（1）這是同學們的想法，看看，你還有什么補充嗎？為了研究方便，我們把這種情況標上序號。（標號）

　　（2）我們一起來看看，既然都是直線，又知道直線是可以向兩端無限延長的，咱們給這些直線延長延長，看看會有什么現象出現呢？（學生來延長）（換一種顏色，讓學生延長）

　　（二）集體研討，辨析兩條直線的位置關系

　　1.引導學生分類，辨析。

　　監控問題：這么多種情況，我們怎么研究呢？（先分類）

　　請大家兩人一組，根據兩條直線的位置關系給它們分分類。可以把序號寫在題紙的背面，一會兒咱們一起來討論，開始！

　　2.集體研討。

　　①相交與不相交

　　②引導學生分類，建立相交、不相交的概念，并板書。

　　（板書：  不相交   相交）

　　2.借助辨析，建立相關概念。

　　（1）建立平行的概念。

　　監控問題：

　　①師：我們先來看兩條直線的這種位置關系，有人知道這樣的兩條直線叫什么嗎？在生活中你見過嗎？在哪兒見過？-----不相交

　　②數學中這兩條直線的位置關系是平行，誰能用自己的話說一說什么是平行？

　　③我們一起來看看書上是怎么說的？（課件出示平行線的概念）

　　提問：跟我們說的意思差不多吧？剛才咱們說的和書中的有什么不一樣的嗎？（同一平面），這兩條直線是在同一平面嗎？為什么？（都在這張紙上）這兩條直線呢？（黑板上畫出一組），能再說說什么是平行嗎？

　　④建立平行線的表示方法。“∥” a與b平行，可以記作：a∥b，讀作a平行于b或b平行于a

　　（2）建立垂直的概念。

　　監控問題：

　　①這種情況我們稱它為不相交，也就是平行，那你們說這種情況呢？對，相交。

　　提問：在這種相交的情況下，哪個最特殊？特殊在哪兒？

　　②建立垂直的概念。

　　a. 誰來用自己的話說一說什么是垂直？

　　b. 看書上的敘述。

　　c. 學習垂直的表示方法。

　　③建立相交不垂直的概念

　　那這種呢？相交了，但不垂直，形成了兩組對頂角，每組的對頂角是相等的。追問：那垂直呢？相交之后也形成了兩組對頂角，它特殊在每組的對頂角都是相等的，都是90°其實只要是相交就會形成對頂角，這些知識我們到了中學還會繼續學習。

　　④欣賞生活中的平行與垂直。（ppt）

　　其實，在我們的生活中有許多平行與垂直呢，我們一起來看看。（數學作業和課本中也能找到平行和垂直呢？）

　　⑤重合的處理：

　　預設：a.如果學生畫圖的時候出現了“重合”

　　監控問題：這個同學畫出的一個平面內兩條直線的位置關系和剛才我們研究的都不一樣，你知道這是什么嗎？（請畫出圖的同學介紹）課件演示：重合的過程  （兩條直線有無數個交點）

　　b.如何學生沒有在畫圖中出現，教師給圖理解“重合”。

　　（3）小結：看來，在一個平面內，兩條直線的位置關系除了相交和不相交，還會有重合。對于重合的兩條直線，我們到了中學之后還會對這樣的直線作進一步的研究。

　　【設計意圖：通過學生自主探究、集體辨析，得到了一個平面內的兩條直線的位置關系，并進行了分類研究，在這個過程中，充分發揮了學生的主動性和積極性，真正成為學習的主人。】

　　三、在不同的練習中鞏固新知。

　　1、出示平面圖形和組合圖形。

　　過渡語：剛才我們了解了同一平面內，兩條直線的位置關系，也在生活中看到了平行與垂直的例子，那如果是一個平面圖形的呢？你還能找到平行或者是垂直嗎?來，我們一起來試一試！要求：指出下面圖形中的一組垂直與平行。（學生邊指邊說）

　　（1）平面圖形中的平行與垂直。

　　追問：第五個，有互相垂直的兩條邊嗎？

　　過渡語：你們真了不起！也能在平面圖形中找到我們今天所學的知識，那如果是一個組合圖形呢？還行嗎？來，我們一起來看一看！

　　（2）在組合圖形中尋找平行與垂直。

　　看來，要想驗證是不是垂直，三角板幫了我們大忙，真是數學學習的好幫手。

　　2.深入研究平行與垂直的傳遞性。

　　（1）  擺一擺，把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，看一看這兩根小棒互相平行嗎？

　　（2）把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直。看一看這兩根小棒有什么關系？

　　過渡語：我們看了，也找了，那如果讓你們動手擺一擺呢？行嗎？來，小組合作，請你按照要求動手擺一擺，互相說一說，看看你能有什么發現？開始！

　　監控：①哪組把你們擺的拿上來給我們大家來欣賞一下！再說說你們發現了什么？

　　②還有一個呢？先想象一下，猜猜看！然后再動手擺一擺進行驗證！

　　③來給我們大家說一說吧！你們先猜的是什么？擺完之后呢？跟你們大家的想法一樣嗎？

　　小結：看來，數學知識有的時候不能單憑猜測，需要我們進行驗證，才能知道答案是否正確！

　　四、結合板書，總結全課。

　　師：這節課我們一起研究了兩條直線的位置關系，以后我們還會應用這些知識學習更多的知識。

　　五、板書設計：

　　兩條直線的位置關系

　　同一平面內

　　不相交               相交              重合

　　平行“∥”        （對頂角）

　　垂直    不垂直

兩條直線的位置關系 篇8

　　教學過程：

　　師：平面內兩條直線有幾種位置關系？

　　生：相交；平行；重合.

　　師：上節課我們研究了兩條直線的平行與相交的一種特殊情形——垂直，這節課我們繼續研究兩條直線相交的有關問題——夾角.

　　(教師點課題，板書)

　　師：同學們對這節課的內容已經進行了自學，在學習過程中可能遇到一些疑難問題，在這里我和同學們愿意為你答疑解惑，同時，你所提出的問題也一定會帶給我們啟迪和思考.請同學們舉手示意.

　　學生A：老師，我不會求兩條直角的夾角.

　　師：請不要著急，通過這節課的學習、研究你一定能學會的.

　　學生B：教材研究了兩條直線斜率都存在的L1到L2的角問題，如果對于其中一條直線的斜率不存在，那么L1到L2的角問題怎樣解決？

　　學生C：通過直角三角形解決.老師，您在黑板上幫我畫個圖形.

　　(這時教師在黑板上畫圖配合學生C的講解)

　　詳細請下載閱讀《兩條直線的位置關系——夾角》課堂實錄.doc