圓的方程

教學目標

（1）掌握圓的標準方程，能根據圓心坐標和半徑熟練地寫出圓的標準方程，也能根據圓的標準方程熟練地寫出圓的圓心坐標和半徑.
（2）掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結構特征，熟練掌握圓的標準方程和一般方程之間的互化.
（3）了解參數方程的概念，理解圓的參數方程，能夠進行圓的普通方程與參數方程之間的互化，能應用圓的參數方程解決有關的簡單問題.
（4）掌握直線和圓的位置關系，會求圓的切線.
（5）進一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法.

教學建議

教材分析
（1）知識結構

（2）重點、難點分析
①本節內容教學的重點是圓的標準方程、一般方程、參數方程的推導，根據條件求，用解決相關問題.
②本節的難點是圓的一般方程的結構特征，以及圓方程的求解和應用.

教法建議
（1）圓是最簡單的曲線.這節教材安排在學習了曲線方程概念和求曲線方程之后，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學習做好準備.同時，有關圓的問題，特別是直線與圓的位置關系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法.因此教學中應加強練習，使學生確實掌握這一單元的知識和方法.
（2）在解決有關圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數法等思想方法，教學中應多總結.
（3）解決有關圓的問題，要經常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學過的解析幾何的基本知識，教師在教學中要注意多復習、多運用，培養學生運算能力和簡化運算過程的意識.
（4）有關圓的內容非常豐富，有很多有價值的問題.建議適當選擇一些內容供學生研究.例如由過圓上一點的切線方程引申到切點弦方程就是一個很有價值的問題.類似的還有圓系方程等問題.

教學設計示例

圓的一般方程

教學目標：

（1）掌握圓的一般方程及其特點.

（2）能將圓的一般方程轉化為圓的標準方程，從而求出圓心和半徑.

（3）能用待定系數法，由已知條件求出圓的一般方程.

（4）通過本節課學習，進一步掌握配方法和待定系數法.

教學重點：（1）用配方法，把圓的一般方程轉化成標準方程，求出圓心和半徑.

（2）用待定系數法求.

教學難點：圓的一般方程特點的研究.

教學用具：計算機.

教學方法：啟發引導法，討論法.

教學過程：

【引入】

前邊已經學過了圓的標準方程

把它展開得

任何都可以通過展開化成形如

①

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓？

師生共同討論分析：

如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標準方程展開整理得到的.我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運用配方法，得

②

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數密切相關，具體如下：

（1）當 時，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；

（2）當 時，②表示一個點 ；

（3）當 時，②不表示任何曲線.

總結：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個點，還有可能什么也不表示.

圓的一般方程的定義：

當 時，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，

此時①稱作圓的一般方程.

即稱形如 的方程為圓的一般方程.

【問題2】圓的一般方程的特點，與圓的標準方程的異同.

（1） 和 的系數相同，都不為0.

（2）沒有形如 的二次項.

圓的一般方程與一般的二元二次方程

③

相比較，上述（1）、（2）兩個條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件.

圓的一般方程與圓的標準方程各有千秋：

（1）圓的標準方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然.

（2）圓的一般方程表現出明顯的代數的形式與結構，更適合方程理論的運用.

【實例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形.

（1） ；

（2） ；

（3） .

學生演算并回答

（1）表示點（0，0）；

（2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；

（3）配方得 ，當 、 同時為0時，表示原點（0，0）；當 、 不同時為0時，表示以 為圓心， 為半徑的圓.

例2：求過三點 ， ， 的，并求出圓心坐標和半徑.

分析：由于學習了圓的標準方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標準方程求解，也可以用一般方程求解.

解：設為

因為 、 、 三點在圓上，則有

解得： ， ，

所求為

可化為

圓心為 ，半徑為5.

請同學們再用標準方程求解，比較兩種解法的區別.

【概括總結】通過學生討論，師生共同總結：

（1）求多用待定系數法.其步驟為：由題意設方程（標準方程或一般方程）；根據條件列出關于待定系數的方程組；解方程組求出系數，寫出方程.

（2）如何選用圓的標準方程和圓的一般方程.一般地，易求圓心和半徑時，選用標準方程；如果給出圓上已知點，可選用一般方程.

下面再看一個問題：

例3： 經過點 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點，求線段 的中點 的軌跡.

解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2.設 是軌跡上任意一點.

∵ 

∴ 

即

化簡得

點 在曲線上，并且曲線為圓 內部的一段圓弧.

【練習鞏固】

（1）方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓.求 、 、 的值.（結果為4，－6，－3）

（2）求經過三點 、 、 的.

分析：用圓的一般方程，代入點的坐標，解方程組得為 .

（3）課本第79頁練習1，2.

【小結】師生共同總結：

（1）圓的一般方程及其特點.

（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標準方程，求圓心坐標和半徑.

（3）用待定系數法求.

【作業 】課本第82頁5，6，7，8.

【板書設計】