不等式的性質2
第二課時
教學目標
1.理解同向不等式，異向不等式概念；
2.掌握并會證明定理1，2，3；
3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；
4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程
教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法
教學方法：引導式
教學過程
一、復習回顧
上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：
這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.
二、講授新課
在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.
1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.
異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.
2.不等式的性質：
定理1：若 ，則
定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.
證明：∵ ，
∴
由正數的相反數是負數，得
說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.
定理2：若 ，且 ，則 .
證明：∵
∴
根據兩個正數的和仍是正數，得
∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.
定理3：若 ，則
定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.
證明：∵
∴
說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；
（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .
定理3推論：若 .
證明:∵ ,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；
（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；
（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）
三、課堂練習
1.證明定理1后半部分；
2.證明定理3的逆定理.
說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.
課堂小結
通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
課后作業
1.求證：若
2.證明：若
板書設計
§6.1.2 不等式的性質
1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
異向不等式 證明 證明 推論
2.定理1 證明 說明 說明 證明
第三課時
教學目標
1.熟練掌握定理1，2，3的應用；
2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；
3.掌握反證法證明定理5.
教學重點：定理4，5的證明.
教學難點：定理4的應用.
教學方法：引導式
教學過程：
一、復習回顧
上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.
（學生回答）
好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.
二、講授新課
定理4：若
若
證明：
根據同號相乘得正，異號相乘得負，得
當
說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；
（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.
推論1：若
證明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；
（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.
（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.
推論2：若
說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；
（2）應強調學生注意n∈N 的條件.
定理5：若
我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.
說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .
由推論2和定理1，當 時，有 ；
當 時，顯然有
這些都同已知條件 矛盾
所以 .
接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.
例2 已知
證明：由
例3 已知
證明：∵
兩邊同乘以正數
說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.
三、課堂練習
課本P7練習1，2，3.
課堂小結
通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.
課后作業
課本習題6.1 4，5.
板書設計
§6.1.3 不等式的性質
定理4 推論1 定理5 例3 學生
內容 內容
證明 推論2 證明 例4 練習
探究活動
能得到什么結論
題目 已知 且 ，你能夠推出什么結論？
分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。
思路一：改變 的范圍，可得：
1. 且 ；
2. 且 ；
思路二：由已知變量作運算，可得：
3. 且 ；
4. 且 ；
5. 且 ；
6. 且 ；
7. 且 ；
思路三：考慮含有 的數學表達式具有的性質，可得：
8. （其中 為實常數）是三次方程；
9. （其中 為常數）的圖象不可能表示直線。
說明 從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮.
探究關系式是否成立的問題
題目 當 成立時，關系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。
解：因為 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結論。
探討增加什么條件使命題成立
例 適當增加條件，使下列命題各命題成立：
（1）若 ，則 ；
（2）若 ，則 ；
（3）若 ， ，則 ；
（4）若 ，則
思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。
解：（1）
（2） 。當 時，
當 時，
（3）
（4）
引申發散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。