含有絕對值的不等式

教學目標

（1）掌握絕對值不等式的基本性質，在學會一般不等式的證明的基礎上，學會含有絕對值符號的不等式的證明方法；

（2）通過含有絕對值符號的不等式的證明，進一步鞏固不等式的證明中的由因導果、執要溯因等數學思想方法；

（3）通過證明方法的探求，培養學生勤于思考，全面思考方法；

（4）通過含有絕對值符號的不等式的證明，可培養學生辯證思維的方法和能力，以及嚴謹的治學精神。

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

① 本節重點是性質定理及推論的證明.一個定理、公式的運用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導過程中所蘊含的數學思想與方法，通過證明過程的探求，使學生理清思考脈絡，培養學生勤于動腦、勇于探索的精神.
② 教學難點一是性質定理的推導與運用；一是證明的方法選擇.在推導定理中進行的恒等變換與不等變換，相對學生的思維水平是有一定難度的；證明的方法不外是比較法、分析法、綜合法以及簡單的放縮變換，根據要證明的不等式選擇適當的證明方法是無疑學生學習上的難點.

三、教學建議

（1）本節內容分為兩課時，第一課時為性質定理的證明及簡單運用，第二課時為的證明舉例.
（2）課前復習應充分.建議復習：當 時
      ；
      ；

       以及絕對值的性質：

       ，為證明例1做準備.
（3）可先不給出性質定理，提出問題讓學生研究： 是否等于 ？大小關系如何？ 是否等于 ？等等.提示學生用一些數代入計算、比較，以便歸納猜想一般結論.
（4）不等式 的證明方法較多，也應放手讓學生去探討.
（5）用向量加減法的三角形法則記憶不等式及推論 .
（6）本節教學既要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神.

教學設計示例

教學目標

      理解 及其兩個推論，并能應用它證明簡單含有絕對值不等式的證明問題。

教學重點難點

重點是理解掌握定理及等號成立的條件，絕對值不等式的證明。

難點是定理的推導過程的探索，擺脫絕對值的符號，通過定理或放縮不等式。

教學過程

一、復習引入

我們在初中學過絕對值的有關概念，請一位同學說說絕對值的定義。

當 時，則有：

那么 與 及 的大小關系怎樣？

這需要討論  當

                當

                當

                綜上可知：

我們已學過積商絕對值的性質，哪位同學回答一下？

.

當 時，有： 或 .

二、引入新課

由上可知，積的絕對值等于絕對值的積；商的絕對值等于絕對值的商。

那么和差的絕對值等于絕對值的和差嗎？

1.定理探索

和差的絕對值不一定等于絕對值的和差，我們猜想

  .

怎么證明你的結論呢？

用分析法，要證 .

只要證

即證

即證 ，

而 顯然成立，

故

那么怎么證 ？

同樣可用分析法

當 時，顯然成立，

當 時，要證

只要證 ，

即證

而 顯然成立。

從而證得 .

還有別的證法嗎？（學生討論，教師提示）

由 與 得 .

當我們把 看作一個整體時，上式逆用 可得什么結論？

。

能用已學過得的 證明 嗎？

可以 表示為 .

即 （教師有計劃地板書學生分析證明的過程）

就是含有絕對值不等式的重要定理，即 .

由于定理中對 兩個實數的絕對值，那么三個實數和的絕對值呢？ 個實數和的絕對值呢？

亦成立

這就是定理的一個推論，由于定理中對 沒有特殊要求，如果用 代換 會有什么結果？（請一名學生到黑板演）

，

用 代 得 ，

即 。

這就是定理的推論 成立的充要條件是什么？

那么 成立的充要條件是什么？

.

例1  已知 ，求證 . （由學生自行完成，請學生板演）

證明：

例2  已知 ，求證 .

證明：

點評：這是為今后學習極限證明做準備，要習慣和“配湊”的方法。

例3  求證 .

證法一：（直接利用性質定理）在 時，顯然成立.

當 時，左邊

.

證法二：（利用函數的單調性）研究函數 在 時的單調性。

設 ，

, 在 時是遞增的.

又 ，將 ， 分別作為 和 ，則有

（下略）

證法三：（分析法）原不等式等價于 ，

只需證 ，

即證

又 ，

顯然成立.

原不等式獲證。

還可以用分析法證得 ，然后利用放縮法證得結果。

三、隨堂練習

1.①已知 ，求證 .

  ②已知 求證 .

2.已知   求證：

① ；

② .

3.求證 .

答案：1. 2. 略

3. 與 同號 

四、小結

      1.定理 . 把 、 、 看作是三角形三邊，很象三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這樣理解便于記憶，此定理在后面學習復數時，可以推廣到比較復數的模長，并有其幾何意義，有時也稱其為“三角形不等式”.

      2.平方法能把絕對值不等式轉化為不含絕對值符號的不等式，但應注意兩邊非負時才可平方，有些證明并不容易去掉絕對值符號，需用定理 及其推論。

     3.對 要特別重視.

五、布置作業 

1.若 ，則不列不等式一定成立的是（  ）

  A.      B.

  C.     D.

2.設 為滿足 的實數，那么（  ）

A.      B.

C.      D.

3.能使不等式 成立的正整數 的值是__________.

4.求證：

（1） ；

（2） .

5.已知 ，求證 .

答案：1. D   2. B   3.1、2、3  

4.   

5.

  =

注：也可用分析法.

六、板書設計