數學教案－圓的方程
§7.6 圓的方程（第二課時）㈠課時目標
1. 掌握圓的一般式方程及其各系數的幾何特征。
2. 待定系數法之應用。
㈡問題導學
問題1：寫出圓心為（a,b）,半徑為r的圓的方程，并把圓方程改寫成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0
問題2：下列方程是否表示圓的方程，判斷一個方程是否為圓的方程的標準是什么？
① ； ② 1
③ 0； ④ -2x+4y+4=0
⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0
㈢教學過程
[情景設置]
把圓的標準方程 展開得 -2ax-2by+ =0
可見，任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
+Dx+Ey+F=0 ①
提問:方程表示的曲線是不是圓?一個方程表示的曲線是否為圓有標準嗎?
[探索研究]
將①配方得 : ( ) ②
將方程 ②與圓的標準方程對照.
⑴當 ＞0時, 方程 ②表示圓心在 (- ),半徑為 的圓.
⑵當 =0時,方程①只表示一個點(- ).
⑶當 ＜0時, 方程①無實數解,因此它不表示任何圖形.
結論: 當 ＞0時, 方程 ①表示一個圓, 方程 ①叫做圓的一般方程.
圓的標準方程的優點在于明確地指出了圓心和半徑,而一般方程突出了形式上的特點:
⑴ 和 的系數相同,不等于0;
⑵沒有xy這樣的二次項.
以上兩點是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件
[知識應用與解題研究]
[例1] 求下列各圓的半徑和圓心坐標.
⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)
[例2]求經過O（0，0），A（1，1），B（2，4）三點的圓的方程，并指出圓心和半徑。
分析：用待定系數法設方程為 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為 的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。
分析：本題直接給出點，滿足條件，可直接用坐標表示動點滿足的條件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距離之比為定植k（k>0）的點的軌跡又如何？當k=1時為直線，k>0時且k≠1時為圓。
㈣提煉總結
1. 圓的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2. 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圓的必要條件是：A=C≠0且B=0。
3. 圓的方程兩種形式的選擇：與圓心半徑有直接關系時用標準式，無直接關系選一般式。
4. 兩圓的位置關系（相交、相離、相切、內含）。
㈤布置作業
1. 直線l過點P（3，0）且與圓 -8x-2y+12=0截得的弦最短，則直線l的方程為：
2. 求下列各圓的圓心、半徑并畫出它們的圖形。
⑴ -2x-5=0； ⑵ +2x-4y-4=0
3.經過兩圓 +6x-4=0和 +6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。