《函數性質的運用》案例分析

一、相關背景介紹 建構主義理論告訴我們，學習是學生在原有認知經驗基礎上主動建構新知識的過程。這一建構過程實際上需要學生將原有知識與新知識（包括思想、觀點、方法）進行有效組合與溝通。而學生知識、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴于這個過程。從這個意義上說，數學學習實際上是指學生對數學現象的領悟和實質理解。抽象函數這部分內容，體現了數學的高度抽象性和簡潔性，近幾年高考幾乎每年都有類似的題目。由于它的提干都是由抽象的數學符號給出，因此它對學生閱讀理解數學語言和符號的能力要求很高。對學生的思維能力是一個大的挑戰。二、本節課教學目標  1 、知識與技能① 使學生深刻理解函數的奇偶性、周期性、對稱性等性質。掌握代數變換的方法。② 學會閱讀理解數學語言和符號，會綜合運用函數性質解題。2 、過程與方法通過讓學生經歷閱讀、理解、探索求解的過程，滲透化歸轉化的思想、數形結合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數學問題。3 、情感、態度、價值觀使學生領會數學的抽象性和嚴謹性，培養他們實事求是的科學態度，積極參與和勇于探索的精神。4 、重點：綜合運用函數性質解題難點：對文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的理解和相互轉換。三、設計理念 1 、首先通過復習函數的性質導入  ，訓練學生對數學的文字語言、符號語言和圖形語言這三種語言的相互轉換2 、例 1 的設計的意圖是：加深學生對函數概念、性質的理解。教學生學會閱讀、理解數學語言、符號；學會文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化。通過一題多解、一題多思，滲透化歸轉化和數形結合的思想，以及代數變換的方法，培養他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。3 、例 2 的設計主要讓學生獨立思考解答探求多種解法，思考、交流、表達，體現學生主體參與合作學習。要求學生綜合運用函數性質解題，提高他們抽象思維能力，問題延伸思考，主要針對較好學生，讓他們課后繼續鉆研，提高分析問題、解決問題能力，也體現了分層教學的思想。四、下面是課堂實錄《函數性質的運用》 師：前面我們已經分別復習了函數的奇偶性、單調性、對稱性及周期性等。今天我們學習函數性質的綜合運用。請先思考回答以下問題：① 若函數 f （ x ）是奇函數，如何用符號表示？用圖形表示？② 若給出圖形 請用文字語言敘述它的對稱性，用符號如何表示？③ 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何結論？如何用文字語言敘述，用符號表示？生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ）生 2 ： ② 函數 f （ x ）關于 x=1 對稱，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ）生 3 ： ③ f （ x ）是周期函數，周期為 T=2 ，示意圖： 師：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能說出什么信息？生： f （ x ）的周期是 T=4師：為什么？能否用圖象解釋？生：將式中的 x 用 x+2 來替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ）又因為 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4但是不太用圖像來解釋師：提示：從圖示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期為 4 。總結：通過對函數的奇偶性、對稱性、周期性等性質的復習，我們要熟悉數學的文字語言，符號語言，圖形語言三種語言的轉換。好，下面我們來看例 1例 1 ：設 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函數， f （ x+2 ） =-f （ x ），當 0≤x≤1 時， f （ x ） =x ，則 f （ 7.5 ） =?生 1 ：利用周期性由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ）所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ）f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5師：還有其他方法嗎？f （ x ）是奇函數且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能說出周期 T=4 外，還能說出哪些信息？（師提示）生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ）而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）關于直線 x=1 對稱師：很好，你能否根據函數的對稱性、周期性及奇偶性，畫出它的圖象？從而利用圖象來解題呢？生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5師：我們在解題的過程中，應善于利用數形結合的思想方法，有時能收到意想不到的效果的。師總結：方法一：主要要求對符號的深刻理解及獲取信息方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通過轉化達到解題的目的，滲透了轉化的思想方法三：利用函數的幾何性質，通過作圖，利用數形結合的思想來解題。下面我們來將這道題目進行變化：變化 1 ：已知條件不變，問題變為當 x ∈ [-1 ， 0] 時，求 f （ x ）的解析式生 1 ：設 x ∈ [-1 ， 0] 則 -x ∈ [0 ， 1]∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ）∴ f （ x ） =x∴ 當 x ∈ [-1 ， 0] 時， f （ x ） =x師：能否總結一下解題步驟？生 2 ：小結：首先要 “ 問啥設啥 ” ，不要把變量設錯了區間；第二，把變量轉化到已知區間上去最后，再利用函數的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。變化 2 ：當 -1≤x≤1 時， f （ x ）的解析式生：由已知和變化 1 可知當 -1≤x≤1 時， f （ x ） =x變化 3 ：當 x ∈ [3 ， 5] 時，求 f （ x ）的解析式生：設 x ∈ [3 ， 5] ，則 x-4 ∈ [-1 ， 1]∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4∴ f （ x ） =x-4變化 4 ：當 x ∈ [1 ， 3] 時，求 f （ x ）的解析式生：設 x ∈ [1 ， 3] ，則 x-2 ∈ [-1 ， 1]∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ）∴ -f （ x ） =x-2∴ f （ x ） =2-x師：小結：上面這四個變化訓練要求我們要掌握代數變換這種數學方法，體會化歸轉化的思想在解題過程中的運用。例 2 ：定義在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函數 y=f （ x ）滿足關系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在區間 [-2 ， 0] 上是增函數，那么以下結論正確的有① y=f （ x ）是周期函數② y=f （ x ）的圖象關于直線 x=2 對稱③ y=f （ x ）在區間 [2 ， 4] 上是減函數④ f （ ） =f （ ）生 1 ： ① f （ x ）是周期函數， T=4師： ② 分析：要證明直線 x=2 是 y=f （ x ）圖象的對稱軸，只需要證明什么關系式成立？生：只需證 f （ 2-x ） =f （ 2+x ）或證 f （ -x ） =f （ 4+x ）或證 f （ x ） =f （ 4-x ）師：那我們選擇證第三個等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函數∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ）∴ y=f （ x ）圖象的對稱軸 x=2③ ：生 1 ：有已知在區間 [-2 ， 0] 上， y=f （ x ）是增函數，由于 y=f （ x ）是偶函數，其圖象關于 y 軸對稱，那么在 [0 ， 2] 上 y=f （ x ）是減函數，又由于 y=f （ x ）圖象關于直線 x=2 對稱，所以 y=f （ x ）在區間 [2 ， 4] 上是增函數所以結論錯誤生 2 ：也可以借助于圖象（示意圖）證明 ③ 是錯誤的 ④ ：生 3 ：由于 f （ x ）在區間 [0 ， 2] 上是遞減的∴ f （ ） >f （ ）∴ 結論錯誤師：請同學們課后對問題進行延伸思考：通過以上兩個例題，我們發現這樣一個結論：如果 f （ x ）具備奇偶性，同時 f （ x ）的圖象還關于某條直線對稱，則 f （ x ）是周期函數，你認為這個結論成立嗎？請證明。課堂總結：（師生共同完成）要求對函數性質有深刻的理解及三種數學語言的理解轉化掌握代表變換的方法，體會數形結合、化歸思想在解題過程中的應用進一步培養學生的抽象思維能力課堂檢測：已知定義在 R 上的周期函數 y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的圖象關于直線 x=2 成軸對稱圖形求證： y=f （ x ）是偶函數五、課后反思 這節課的教學環節，設計比較合理。特別是課前的復習導入  ，加強學生對數學的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言理解和相互轉換，為突破本節課的難點做了有益的鋪墊。例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學生對函數有關概念性質的理解，對數學語言閱讀能力的培養，同時對提高他們的抽象思維能力是極有好處的學生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問題踴躍。特別是一些平時成績偏下的學生也積極發言，很想表現自己，渴望得到來勢和同學的認可。看來，如果平時也經常關注這部分學生，多給他們成功的機會，調動他們參與課堂的積極性，那么他們一定回愿意學，樂于學，學好的從課堂小測反饋的情況看，有少數學生對這部分內容的掌握還有困難，不會閱讀，理解數學符號，因此運用起來感到比較困難，無從下手解題，因此對這部分學生還得加強課后的輔導督促其落實課堂上程序基本上是老師設計安排好的，沒有讓學生發現問題、提出問題，從而解決問題，這對培養學生的創新意識和能力是有礙的，這也是本人感到困惑的地方，在高三的復習時間緊迫的情況下，在課堂上，如何既讓學生有一定的時間體會探索，發散思維，甚至充分暴露思維的錯誤，又能按時完成課時進度，落實各個知識點，不影響應試考試的成績。這實在是太難了啊！