拋物線概念建構學習的教學設計

建構主義強調學習主體的感知，認為數學知識不能從一個人復制到另一個，而是個體在原來已有的知識結構以及經驗的基礎上，通過學習主體的感知、探索、交流、消化，使之適合自已的數學認知結構，才能實現對知識的理解和掌握。所以教師在課堂教學中是一個指導者、幫助者，而學生才是學習的主體，教師根據學生的認知結構，創設一定的問題情境，讓學生通過協作、交流、探索，對知識進行意義建構。本節課的教學設計是在建構主義理論指導下，利用學生對橢圓和雙曲線理解和掌握，把靜態的曲線動態化，通過教師、學生的會話發現了兩種曲線的內在的聯系，探索出了拋物線的軌跡，從而達到了拋物線概念的意義建構。

   教學過程：

T：前面我們研究了橢圓和雙曲線，不僅知道了兩種曲線的第一定義，而且知道了它們的 

    第二定義，請大家回憶一下兩種曲線的第二定義。

S1：橢圓和雙曲線的第二定義是平面上到定點與到定直線的距離比為常數的點的軌跡，當      常數在（0，1）時點的軌跡是橢圓，當常數在（1， ）時點的軌跡是雙曲線。

T：很好,這個常數實際上就是曲線的離心率e,我們以橢圓為例，e的不同，橢圓的形狀顯然也不一樣，那么e的變化對曲線究竟產生什么樣的影響呢？按照橢圓的第二定義，我們先來看特殊情況。已知直線m與直線l垂直，垂足為H，F是直線m上一定點，如圖

    問直線m上到定點F與到定直線l的距離比為 的點在什么位置？

S2：是線段FH的靠近F的三等分點，設為A1

T：很好，在直線m 上還有沒有這樣的點？

S2：還有一個，設為A2，并且滿足FH=A2F.

評注：把抽象的問題具體化，使學生能在已有的知識上，對知識進行重新梳理，也是學生對已學知識的再建構。

T：直線外當然也有，這時平面內的點的軌跡為橢圓，請大家思考，當e 0時和e 1

時，點A1，A2的位置如何變化？

S3：當e 0時，點A1逐漸向點F靠近，點A2也向點F靠近，而且點A1，A2即為橢圓的兩個頂點，當e 1時，A1，A2逐漸遠離點F。

T：非常好，不僅知道了點A1，A2的位置變化情況，而且發現了點A1，A2實際就是橢圓的兩個頂點，那么此時對應的橢圓的形狀如何變化呢？

S3：當e 0時點A1，A2都向點F靠近，此時對應的橢圓越來越圓，當e 1時，點A1，A2逐漸遠離點F，此時對應的橢圓越來越扁。

T：非常好，通過研究特殊點的變化，我們發現了e的變化對橢圓的形狀產生了什么樣的影響，下面我們把這種變化用幾何畫板演示給大家看。

通過對已有知識的再認識、再研究，學生對已有知識進一步再理解、再建構，并且會產生新的發現，同時由對特殊點的討論，過度到一般情況，符合學生的認知規律。

    請大家再思考，A1能否到達線段FH的中點M?

S3：不可能，因為橢圓的離心率e (0,1)。

T：很好！當點A1跑到點M的左邊時，比值 的取值范圍是什么？

S3： ＞1，對應的曲線不再是橢圓，而是雙曲線了！

T：非常好，說明大家對兩種曲線的第二定義理解的比較好。現在我們來計算在直線m上

    滿足到定點F與到定直線l的距離比為2的點在什么位置？

S4：在線段FH上靠近H的那個三等分點，還有一個在點H的左邊，并且滿足B2H=FH

T：很好，當然在直線l外滿足條件的點也有，這時對應的曲線為雙曲線，下面請大家來研    究、探索e的變化對雙曲線的形狀產生怎樣的影響？

  （有了對橢圓的研究，學生可以通過相互幫助、協作、交流很容易解決的變化對雙曲線 

    的形狀產生的影響）

S4：當e 1時，B1逐漸靠近點M，B2逐漸向左趨向于無窮遠，雙曲線的張口越來越小； 

   當e 時，點B1、B2都向點H逐漸靠近，此時對應的雙曲線的張口越來越大。

T：非常好，對于橢圓的形狀大家用扁和圓來形容，而對于雙曲線大家用張口大小來描述，請問大家這兩種曲線各有什么樣的特征？

S4：雙曲線有漸近線，而橢圓沒有。

S4：橢圓在直線的一邊，而雙曲線有兩支。

S4：橢圓是封閉的，雙曲線是張開的。

T：很好，大家對兩種曲線有了較為深刻的理解。下面利用幾何畫板把這種變化過程演示給大家看

   在線段HF上的兩個點A1、B1，大家發現它們都不可能移動到點M，為什么？

S5：因為橢圓的離心率e （0，1），雙曲線的離心率 e （1， ），而點M滿足 =1

T：顯然點M非常特殊，不可能在某一個橢圓或者雙曲線上，那么直線上還有沒有滿足到定點 F與到定直線L的距離的比為1的點的呢？，直線L外還有沒有？

S5：直線L上沒有了，而直線外還有無數個點。