數(shù)學(xué)教案－正方形 探索式教學(xué)示例
教學(xué)引入師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話(huà)：把一個(gè)長(zhǎng)方形折疊就可以得到一個(gè)正方形。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出一個(gè)長(zhǎng)方形紙條，按動(dòng)畫(huà)所示進(jìn)行折疊處理。
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景一：正方形折疊演示
師：這就是我們得到的正方形。下面請(qǐng)同學(xué)們拿出三角板（刻度尺）和圓規(guī)，我們來(lái)研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對(duì)角線(xiàn)之間的關(guān)系。請(qǐng)大家測(cè)量各邊的長(zhǎng)度、各角的大小、對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度以及對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的長(zhǎng)度。
[學(xué)生活動(dòng)：各自測(cè)量。]
鼓勵(lì)學(xué)生將測(cè)量結(jié)果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點(diǎn)。
講授新課
找一兩個(gè)學(xué)生表述其結(jié)論，表述是要注意糾正其語(yǔ)言的規(guī)范性。
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景二：正方形的性質(zhì)
師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)？
[學(xué)生活動(dòng)：尋找矩形性質(zhì)。]
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景三：矩形的性質(zhì)
師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。
[學(xué)生活動(dòng)；尋找菱形性質(zhì)。]
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景四：菱形的性質(zhì)
師：這說(shuō)明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。
及時(shí)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。
師：根據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個(gè)定義？怎么樣給正方形下一個(gè)準(zhǔn)確的定義？
[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，有同學(xué)做躍躍欲試狀。]
師：請(qǐng)同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以根據(jù)矩形與菱形的定義類(lèi)似的給出正方形的定義。
學(xué)生應(yīng)能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應(yīng)鼓勵(lì)，把以下三種板書(shū)：
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”
“有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”
[學(xué)生活動(dòng)：討論這三個(gè)定義正確不正確？三個(gè)定義之間有什么共同和不同的地方？這出教材中采用的是第三種定義方式。]
師：根據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景五：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系
場(chǎng)景六：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的性質(zhì)關(guān)系
師：當(dāng)然平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系還可以用下圖（圖1）表示：
圖1
師：請(qǐng)同學(xué)們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系以及平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的性質(zhì)關(guān)系整理在筆記本上。
例題講解
例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE
分析：據(jù)已知條件畫(huà)出圖形，如圖2所示，要證明線(xiàn)段相等，與圖形可以證明二個(gè)三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC.
證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE,AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE
圖2
說(shuō)明：應(yīng)用正方形的性質(zhì)，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結(jié)論完全相同，證法是可以借鑒的。
鞏固練習(xí)
鞏固練習(xí)題目可有教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。
講解新課
師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系，怎么判定一個(gè)矩形是正方形？
生：證一組鄰邊相等。
師：怎么判定一個(gè)菱形是正方形？
生：證有一個(gè)角是直角。
師：怎么判定一個(gè)平行四邊形是正方形？
生：根據(jù)定義，證有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角。
師：那么，剛才的結(jié)論如果用圖來(lái)表示，是不是如圖2所示？
師：圖3表現(xiàn)出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系把圖3補(bǔ)全？
[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，部分學(xué)生疑惑不解。]
師點(diǎn)取上等學(xué)生回答問(wèn)題，根據(jù)回答得圖4。
生恍然大悟。
學(xué)生思路得到啟發(fā)，中上等及上等學(xué)生意猶未盡，鼓勵(lì)他們根據(jù)矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡(jiǎn)單示例。
就勢(shì)跟進(jìn)，要求學(xué)生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對(duì)角線(xiàn)條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡(jiǎn)單圖例，并說(shuō)出相應(yīng)證明思路。
為進(jìn)一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個(gè)問(wèn)題：
(1)對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形嗎？
(2)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形嗎？
(3)對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？
(4)能說(shuō)“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”
(5)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形嗎？
小結(jié)：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學(xué)會(huì)具體分析，規(guī)定條件和隱含條件不外乎邊、角、對(duì)角線(xiàn)，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學(xué)會(huì)去分析。
動(dòng)畫(huà)演示：
場(chǎng)景七：正方形的判定
例題講解
例2 如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，DE、CF相交于M，
求證：AD=AM。
分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據(jù)題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點(diǎn)，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關(guān)的等腰三角形？只需延長(zhǎng)CF、DA交于N，即可出現(xiàn)直角三角形MND，只要證明A是ND中點(diǎn)即可。這是是否發(fā)現(xiàn)△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，從而A是ND中點(diǎn)，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線(xiàn)。問(wèn)題得證。
證明：略。
說(shuō)明：將此題中的中點(diǎn)E、F進(jìn)行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點(diǎn)，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個(gè)變化后的圖形在正方形中常常出現(xiàn)，要注意隱含的這個(gè)垂直條件。
課堂練習(xí)題及課后作業(yè) 可由教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。